Considere as funções
e
definidas por:
(d) Verifique se
é igual a
para algum valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se as composições das funções
e
, ou seja,
e
, são iguais para algum valor de
. Vamos precisar entender como funcionam as funções compostas e aplicar isso para encontrar o(s) valor(es) de
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função composta. A notação
significa que a gente aplica a função
primeiro e, em seguida, aplica a função
no resultado de
. Matemáticamente, isso é escrito como:
De maneira semelhante:
Passo 3
Vamos calcular
passo a passo. Primeiro, aplicamos a função
em
:
Agora, aplicamos
nesse resultado:
Vamos expandir
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Primeiro, aplicamos a função
em
:
Depois, aplicamos
nesse resultado:
Passo 5
Agora que temos as duas composições, vamos igualá-las para encontrar se existe algum
que satisfaça
:
Vamos resolver essa equação para
.
Passo 6
Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da equação para igualar a zero:
Simplificando:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
Onde
,
e
.
Passo 8
Calculando o discriminante (
):
Como
, existem duas soluções reais.
Passo 9
Aplicando na fórmula de Bhaskara:
Resposta
Os valores de
para os quais
são:
Exercícios relacionados
Verifique se a função
é contínua em
.
Considere as funções
e
definidas por:
© Encontre a função composta
.
Determine os domínios e as imagens de
:
(a)
(a)
Determine os domínios e as imagens de
:
(b)
(b)