Considere as funções
e
.
Encontre o domínio da função
.
Encontre o domínio da função
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções:
Queremos encontrar o domínio da função composta
, ou seja, todos os valores de
para os quais
está bem definida. Para isso, vamos precisar entender sobre funções compostas e domínios de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função composta
é o conjunto de todos os
onde:
-
está definida. -
está dentro do domínio de .
Então, vamos analisar cada função separadamente.
Passo 3
Analisando
:
A função
é uma fração. O domínio dela são todos os valores de
que não deixam o denominador zero, ou seja:
Então,
está definida para todo
exceto
.
Passo 4
Analisando
:
Para o logaritmo estar definido, o argumento precisa ser positivo:
Como a raiz cúbica é positiva quando
, temos:
Portanto, o domínio de
é
.
Passo 5
Agora, queremos que
esteja definida. Isso significa que:
-
está definida -
Vamos resolver a inequação
:
Simplificando o numerador:
Então, a inequação fica:
Passo 6
Encontramos os pontos críticos onde o numerador ou denominador é zero:
Vamos dividir a linha real em intervalos usando esses pontos e verificar o sinal de
em cada intervalo.
Intervalos:
Passo 7
Vamos testar cada intervalo:
-
: - Numerador: negativo
- Denominador: negativo
- Resultado: positivo
-
: - Numerador: positivo
- Denominador: negativo
- Resultado: negativo
-
: - Numerador: negativo
- Denominador: positivo
- Resultado: negativo
-
: - Numerador: negativo
- Denominador: positivo
- Resultado: negativo
Passo 8
Então,
somente no intervalo
. Lembrando que
, nosso domínio final é:
Resposta
O domínio da função
é
.
Exercícios relacionados
Resolva as inequações abaixo
.
Faça o gráfico das funções abaixo
Determine o domínio da função
Numa residência a tensão elétrica alternada é dada por
. A tensão é medida em V e t é medido em s. Sabe-se ainda que o valor eficaz, Vrms, da tensão é dado por Vrms
, determine:
A tensão máxima
A tensão máxima