Determine o domínio da função f(x) = (x + 8) / (x^5 - 4*x^3 - x^2 + 4)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem o seguinte exercício: determinar o domínio da função . A matéria que estamos lidando aqui é funções racionais, e vamos precisar entender o que é domínio e como encontrar os valores de que deixam a função bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio são todos os valores possíveis de que a função consegue receber sem causar nenhum problema, como divisão por zero ou raízes de números negativos quando não permitidas. No caso de uma função racional (que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios), o domínio é formado por todos os números reais exceto aqueles que fazem o denominador ser igual a zero, pois isso causaria uma divisão por zero, que não é permitida.

Passo 3

Então, para encontrar o domínio da nossa função , precisamos descobrir os valores de que tornam o denominador igual a zero. Vamos resolver a equação:
Isso pode parecer complicado, mas vamos tentar encontrar algumas raízes racionais testando valores que são divisores do termo constante (neste caso, 4). Vamos testar :
Legal, é uma raiz! Agora, vamos fatorar o polinômio dividindo por :
Vamos continuar procurando outras raízes. Testando :
Então, também é raiz! Fatorando novamente:
Vamos testar :
Assim, é mais uma raiz. Fatorando de novo:
Para encontrar as últimas raízes, resolveremos . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, não há raízes reais para este polinômio. Portanto, as únicas raízes reais do denominador são , e .

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto , e . Em notação, fica assim:
í

Exercícios relacionados