Seja a função dada pela relação . Descreva por meio de um diagrama, determinando o domínio de , a imagem de os conjuntos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função definida pela relação . A gente vai precisar entender como representar essa função em um diagrama, identificar o domínio, a imagem e calcular os pré-imagens para alguns conjuntos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio e a imagem de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada da função, ou seja, os elementos que vêm antes das setas na relação. No caso, .
A imagem da função é o conjunto de todos os valores de saída, que são os números naturais associados a cada elemento do domínio. Observando a relação , temos os valores , então a imagem de é .

Passo 3

Agora, vamos desenhar o diagrama da função . No diagrama, colocamos os elementos do domínio em um lado e os elementos da imagem no outro, ligando cada elemento do domínio ao seu correspondente na imagem.
E as conexões seriam:
  • aponta para
  • aponta para
  • aponta para
  • aponta para
  • aponta para

Passo 4

Agora, vamos calcular as pré-imagens pedidas. A pré-imagem de um conjunto é o conjunto de todos os elementos de que são mapeados para algum elemento de .
Primeiro, :
Procura-se todos os elementos de que mapeiam para . Na relação , são e . Então,

Passo 5

Agora, :
Aqui, buscamos elementos que mapeiam para . Olhando a relação , não há nenhum par que tenha como saída. Portanto,
(O conjunto vazio, que significa que não existe nenhum elemento em que mapeia para .)

Passo 6

Vamos para :
Queremos os elementos que mapeiam para , ou . Da relação , vemos que mapeiam para e mapeiam para . Como não há elemento mapeando para , temos:

Passo 7

Por fim, :
Aqui, buscamos os elementos que mapeiam para ou . Da relação , somente mapeia para . Nenhum elemento mapeia para , então:

Resposta

Finalizando, temos:
  • Domínio de :
  • Imagem de :

Exercícios relacionados

Determine o domínio máximo para as seguintes funções:
Sejam dados os conjuntos e . Escreva cada relação abaixo por meio de um diagrama e determine quais das relações definem uma função . Em cada um dos casos em que é uma função, determine a sua imagem e diga se é injetora, sobrejetora ou bijetora. .
Se é uma função real com domínio , determine o domínio das funções e .
Considere as funções e . Determine o domínio e as expressões para a função .