Seja
a função dada pela relação
. Descreva
por meio de um diagrama, determinando o domínio de
, a imagem de
os conjuntos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função
definida pela relação
. A gente vai precisar entender como representar essa função em um diagrama, identificar o domínio, a imagem e calcular os pré-imagens para alguns conjuntos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio e a imagem de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada da função, ou seja, os elementos que vêm antes das setas na relação. No caso,
.
A imagem da função é o conjunto de todos os valores de saída, que são os números naturais associados a cada elemento do domínio. Observando a relação
, temos os valores
, então a imagem de
é
.
Passo 3
Agora, vamos desenhar o diagrama da função
. No diagrama, colocamos os elementos do domínio em um lado e os elementos da imagem no outro, ligando cada elemento do domínio ao seu correspondente na imagem.
E as conexões seriam:
-
aponta para -
aponta para -
aponta para -
aponta para -
aponta para
Passo 4
Agora, vamos calcular as pré-imagens pedidas. A pré-imagem de um conjunto
é o conjunto de todos os elementos de
que são mapeados para algum elemento de
.
Primeiro,
:
Procura-se todos os elementos de que mapeiam para
. Na relação
, são
e
. Então,
Procura-se todos os elementos de
Passo 5
Agora,
:
Aqui, buscamos elementos que mapeiam para . Olhando a relação
, não há nenhum par que tenha
como saída. Portanto,
Aqui, buscamos elementos que mapeiam para
(O conjunto vazio, que significa que não existe nenhum elemento em
que mapeia para
.)
Passo 6
Vamos para
:
Queremos os elementos que mapeiam para ,
ou
. Da relação
, vemos que
mapeiam para
e
mapeiam para
. Como não há elemento mapeando para
, temos:
Queremos os elementos que mapeiam para
Passo 7
Por fim,
:
Aqui, buscamos os elementos que mapeiam para ou
. Da relação
, somente
mapeia para
. Nenhum elemento mapeia para
, então:
Aqui, buscamos os elementos que mapeiam para
Resposta
Finalizando, temos:
- Domínio de
: - Imagem de
: -
-
-
-
Exercícios relacionados
Determine o domínio máximo para as seguintes funções:
Sejam dados os conjuntos
e
. Escreva cada relação abaixo por meio de um diagrama e determine quais das relações definem uma função
. Em cada um dos casos em que
é uma função, determine a sua imagem e diga se
é injetora, sobrejetora ou bijetora.
.
Se
é uma função real com domínio
, determine o domínio das funções
e
.
Considere as funções
e
. Determine o domínio e as expressões para a função
.