Se
é uma função real com domínio
, determine o domínio das funções
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função real
que funciona para todos os números reais não negativos, ou seja, o domínio de
é
(todos os
tais que
). O exercício pede para a gente descobrir o domínio de outras funções que envolvem
de formas diferentes:
,
,
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar o domínio quando a função está dentro de outras expressões matemáticas. Vamos por partes!
Passo 2
Vamos começar com
. Aqui, a gente substitui
por
dentro da função
. Mas lembre-se que o argumento de
tem que estar dentro do domínio original de
, que é
.
Então, temos que:
Portanto, o domínio de
são todos os
maiores ou iguais a 1.
Passo 3
Agora, vamos para
. Aqui, o argumento é
. Precisamos que:
Isso significa que:
Então, o domínio de
é todos os
menores ou iguais a
ou maiores ou iguais a
.
Passo 4
Vamos ver
. Tem duas coisas para considerar aqui:
- O argumento de
deve estar no domínio de :
- O denominador
não pode ser zero:
Então, juntando tudo, o domínio é:
Passo 5
Agora, vamos para
. Aqui, temos dois componentes:
- A raiz quadrada
precisa que o que está dentro dela seja maior ou igual a zero:
- O argumento de
é apenas , que já sabemos que , mas isso já está incluso na condição anterior .
Portanto, o domínio de
é
.
Passo 6
Finalmente, vamos para
. Novamente, temos duas condições:
- A raiz quadrada
requer que:
- O argumento de
é , que precisa estar no domínio de :
Mas como
já satisfaz
, só precisamos considerar
.
Então, o domínio de
é
.
Resposta
Resumindo, os domínios das funções dadas são:
-
: -
: ou -
: ou -
: -
:
Exercícios relacionados
Seja
a função dada pela relação
. Descreva
por meio de um diagrama, determinando o domínio de
, a imagem de
os conjuntos
.
Determine o domínio máximo para as seguintes funções:
Considere as funções
e
. Determine o domínio e as expressões para a função
.
Sejam
e
duas funções. Mostre que se
e
são sobrejetoras, então
é sobrejetora.