Se é uma função real com domínio , determine o domínio das funções e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função real que funciona para todos os números reais não negativos, ou seja, o domínio de é (todos os tais que ). O exercício pede para a gente descobrir o domínio de outras funções que envolvem de formas diferentes: , , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar o domínio quando a função está dentro de outras expressões matemáticas. Vamos por partes!

Passo 2

Vamos começar com . Aqui, a gente substitui por dentro da função . Mas lembre-se que o argumento de tem que estar dentro do domínio original de , que é .
Então, temos que:
Portanto, o domínio de são todos os maiores ou iguais a 1.

Passo 3

Agora, vamos para . Aqui, o argumento é . Precisamos que:
Isso significa que:
Então, o domínio de é todos os menores ou iguais a ou maiores ou iguais a .

Passo 4

Vamos ver . Tem duas coisas para considerar aqui:
  1. O argumento de deve estar no domínio de :
  1. O denominador não pode ser zero:
Então, juntando tudo, o domínio é:

Passo 5

Agora, vamos para . Aqui, temos dois componentes:
  1. A raiz quadrada precisa que o que está dentro dela seja maior ou igual a zero:
  1. O argumento de é apenas , que já sabemos que , mas isso já está incluso na condição anterior .
Portanto, o domínio de é .

Passo 6

Finalmente, vamos para . Novamente, temos duas condições:
  1. A raiz quadrada requer que:
  1. O argumento de é , que precisa estar no domínio de :
Mas como já satisfaz , só precisamos considerar .
Então, o domínio de é .

Resposta

Resumindo, os domínios das funções dadas são:
  1. :
  2. : ou
  3. : ou
  4. :
  5. :

Exercícios relacionados

Seja a função dada pela relação . Descreva por meio de um diagrama, determinando o domínio de , a imagem de os conjuntos .
Determine o domínio máximo para as seguintes funções:
Considere as funções e . Determine o domínio e as expressões para a função .
Sejam e duas funções. Mostre que se e são sobrejetoras, então é sobrejetora.