Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma base para o núcleo (ou kernel) da transformação linear
definida por
. Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e espaços vetoriais. Precisamos descobrir todos os vetores
que são mapeados para zero pela transformação
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores do espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Matemáticamente, queremos encontrar todos os
que satisfazem
.
Passo 3
Vamos aplicar a definição de
na condição do núcleo:
Isso nos dá a equação:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para expressar uma das variáveis em função das outras. Podemos rearranjar a equação para:
Isso significa que
é igual a
. Como não há restrição sobre
, podemos considerar
e
como variáveis livres.
Passo 5
Com
, podemos escrever qualquer vetor no núcleo na forma:
Aqui,
e
podem ser quaisquer números reais. Isso mostra que todos os vetores no núcleo são combinações lineares dos vetores
e
.
Resposta
Uma base para o núcleo de
é
.