Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo: dada por .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma base para o núcleo (ou kernel) da transformação linear definida por . Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e espaços vetoriais. Precisamos descobrir todos os vetores que são mapeados para zero pela transformação .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores do espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Matemáticamente, queremos encontrar todos os que satisfazem .
Passo 3
Vamos aplicar a definição de na condição do núcleo:
Isso nos dá a equação:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para expressar uma das variáveis em função das outras. Podemos rearranjar a equação para:
Isso significa que é igual a . Como não há restrição sobre , podemos considerar e como variáveis livres.
Passo 5
Com , podemos escrever qualquer vetor no núcleo na forma:
Aqui, e podem ser quaisquer números reais. Isso mostra que todos os vetores no núcleo são combinações lineares dos vetores e .