Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma base para o núcleo (ou kernel) da transformação linear definida por . Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e espaços vetoriais. Precisamos descobrir todos os vetores que são mapeados para zero pela transformação .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores do espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Matemáticamente, queremos encontrar todos os que satisfazem .

Passo 3

Vamos aplicar a definição de na condição do núcleo:
Isso nos dá a equação:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para expressar uma das variáveis em função das outras. Podemos rearranjar a equação para:
Isso significa que é igual a . Como não há restrição sobre , podemos considerar e como variáveis livres.

Passo 5

Com , podemos escrever qualquer vetor no núcleo na forma:
Aqui, e podem ser quaisquer números reais. Isso mostra que todos os vetores no núcleo são combinações lineares dos vetores e .

Resposta

Uma base para o núcleo de é .

Exercícios relacionados

Seja , o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais. Determine se é um subespaço de nos seguintes casos:
(a) é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes inteiros.
(b) é o conjunto de todos os polinômios de grau 6 e o polinômio nulo.
© é o conjunto de todos os polinômios que possuem apenas potências pares de .
Escreva a equação e determine os focos da elipse que tem centro na origem, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos e .
Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por .