Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
T: R^3 longrightarrow R dada por T(x, y, z)=x-y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma base para o núcleo (ou kernel) da transformação linear definida por . Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e espaços vetoriais. Precisamos descobrir todos os vetores que são mapeados para zero pela transformação .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores do espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Matemáticamente, queremos encontrar todos os que satisfazem .

Passo 3

Vamos aplicar a definição de T(x, y, z) = x - y = 0 na condição do núcleo:
x - y = 0
Isso nos dá a equação:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para expressar uma das variáveis em função das outras. Podemos rearranjar a equação para:
x = y
Isso significa que é igual a . Como não há restrição sobre , podemos considerar e como variáveis livres.

Passo 5

Com (x, y, z) = (y, y, z) = y(1, 1, 0) + z(0, 0, 1) , podemos escrever qualquer vetor no núcleo na forma:
Aqui, e podem ser quaisquer números reais. Isso mostra que todos os vetores no núcleo são combinações lineares dos vetores e .

Resposta

Uma base para o núcleo de 110 é 001.

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