Seja
, o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais. Determine se
é um subespaço de
nos seguintes casos:
(a)
é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes inteiros.
(b)
é o conjunto de todos os polinômios de grau 6 e o polinômio nulo.
©
é o conjunto de todos os polinômios que possuem apenas potências pares de
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Temos
, o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais. Precisamos determinar se
é um subespaço de
nos três casos apresentados:
a)
é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes inteiros.
b) é o conjunto de todos os polinômios de grau 6 e o polinômio nulo.
c) é o conjunto de todos os polinômios que possuem apenas potências pares de
.
b)
c)
Para resolver isso, vamos lembrar que um subespaço deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor nulo (no caso, o polinômio nulo).
- É fechado sob adição.
- É fechado sob multiplicação por escalares.
Vamos analisar cada caso seguindo esses passos.
Passo 2
Caso a)
é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes inteiros.
Primeiro, verificamos se o polinômio nulo está em
. O polinômio nulo tem todos os coeficientes iguais a zero, que são inteiros, então a condição 1 é satisfeita.
Agora, verificamos se
é fechado sob adição. Se adicionarmos dois polinômios com coeficientes inteiros, o resultado será outro polinômio com coeficientes inteiros. Portanto, a condição 2 também é satisfeita.
Porém, ao considerar a multiplicação por escalares, observamos que se multiplicarmos um polinômio com coeficientes inteiros por um número real que não seja inteiro, os coeficientes resultantes podem não ser inteiros. Isso viola a condição 3.
Passo 3
Conclusão do Caso a)
Como a condição de fechamento sob multiplicação por escalares não é satisfeita,
não é um subespaço de
.
Passo 4
Caso b)
é o conjunto de todos os polinômios de grau 6 e o polinômio nulo.
Primeiro, verificamos se o polinômio nulo está em
. O polinômio nulo está incluído, então a condição 1 é satisfeita.
No entanto, ao adicionar dois polinômios de grau 6, o resultado pode não ser de grau 6. Por exemplo, se os termos de maior grau se anularem, o grau pode ser menor. Isso significa que
não é fechado sob adição, violando a condição 2.
Passo 5
Conclusão do Caso b)
Como a condição de fechamento sob adição não é satisfeita,
não é um subespaço de
.
Passo 6
Caso c)
é o conjunto de todos os polinômios que possuem apenas potências pares de
.
Primeiro, o polinômio nulo está em
, já que não possui nenhum termo, satisfazendo a condição 1.
Agora, ao adicionar dois polinômios que têm apenas potências pares de
, o resultado também terá apenas potências pares de
. Portanto,
é fechado sob adição, atendendo à condição 2.
Por fim, ao multiplicar um polinômio de
por qualquer escalar real, as potências de
permanecem pares, garantindo que
é fechado sob multiplicação por escalares, satisfazendo a condição 3.
Resposta
a) Não é um subespaço.
b) Não é um subespaço.
c) É um subespaço.
b) Não é um subespaço.
c) É um subespaço.
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Seja
uma transformação linear. Mostre que se
é um subespaço vetorial de
então
é um subespaço vetorial de
.
Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por
.
Escreva a equação e determine os focos da elipse que tem centro na origem, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos
e
.