Seja , o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais. Determine se é um subespaço de nos seguintes casos:
(a) é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes inteiros.
(b) é o conjunto de todos os polinômios de grau 6 e o polinômio nulo.
© é o conjunto de todos os polinômios que possuem apenas potências pares de .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos , o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais. Precisamos determinar se é um subespaço de nos três casos apresentados:
a) é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes inteiros.
b) é o conjunto de todos os polinômios de grau 6 e o polinômio nulo.
c) é o conjunto de todos os polinômios que possuem apenas potências pares de .
Para resolver isso, vamos lembrar que um subespaço deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor nulo (no caso, o polinômio nulo).
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalares.
Vamos analisar cada caso seguindo esses passos.

Passo 2

Caso a) é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes inteiros.
Primeiro, verificamos se o polinômio nulo está em . O polinômio nulo tem todos os coeficientes iguais a zero, que são inteiros, então a condição 1 é satisfeita.
Agora, verificamos se é fechado sob adição. Se adicionarmos dois polinômios com coeficientes inteiros, o resultado será outro polinômio com coeficientes inteiros. Portanto, a condição 2 também é satisfeita.
Porém, ao considerar a multiplicação por escalares, observamos que se multiplicarmos um polinômio com coeficientes inteiros por um número real que não seja inteiro, os coeficientes resultantes podem não ser inteiros. Isso viola a condição 3.

Passo 3

Conclusão do Caso a)
Como a condição de fechamento sob multiplicação por escalares não é satisfeita, não é um subespaço de .

Passo 4

Caso b) é o conjunto de todos os polinômios de grau 6 e o polinômio nulo.
Primeiro, verificamos se o polinômio nulo está em . O polinômio nulo está incluído, então a condição 1 é satisfeita.
No entanto, ao adicionar dois polinômios de grau 6, o resultado pode não ser de grau 6. Por exemplo, se os termos de maior grau se anularem, o grau pode ser menor. Isso significa que não é fechado sob adição, violando a condição 2.

Passo 5

Conclusão do Caso b)
Como a condição de fechamento sob adição não é satisfeita, não é um subespaço de .

Passo 6

Caso c) é o conjunto de todos os polinômios que possuem apenas potências pares de .
Primeiro, o polinômio nulo está em , já que não possui nenhum termo, satisfazendo a condição 1.
Agora, ao adicionar dois polinômios que têm apenas potências pares de , o resultado também terá apenas potências pares de . Portanto, é fechado sob adição, atendendo à condição 2.
Por fim, ao multiplicar um polinômio de por qualquer escalar real, as potências de permanecem pares, garantindo que é fechado sob multiplicação por escalares, satisfazendo a condição 3.

Resposta

a) Não é um subespaço.
b) Não é um subespaço.
c) É um subespaço.

Exercícios relacionados

Seja uma transformação linear. Mostre que se é um subespaço vetorial de então é um subespaço vetorial de .
Encontre uma base para o núcleo das transformações lineares abaixo:
dada por .
Escreva a equação e determine os focos da elipse que tem centro na origem, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos e .