Sejam e dois conjuntos não vazios. Dê um exemplo de função injetora que não é sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema está pedindo para a gente dar um exemplo de uma função que é injetora mas não é sobrejetora entre dois conjuntos não vazios, chamados e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades de funções.

Passo 2

Primeiro, função injetora (ou simplesmente injetiva) é aquela em que elementos diferentes de são mapeados para elementos diferentes em . Ou seja, se , então necessariamente . Isso evita que dois elementos diferentes de tenham a mesma imagem em .

Passo 3

Agora, função sobrejetora (ou simplesmente sobrejetiva) é aquela em que todo elemento de é a imagem de pelo menos um elemento de . Em outras palavras, a função “cobre” todo o conjunto , sem deixar nenhum elemento de fora.

Passo 4

Para encontrar uma função que seja injetora mas não sobrejetora, precisamos que cada elemento de seja mapeado de forma única em , mas que ainda sobre restem elementos que não são alcançados por nenhum elemento de . Vamos usar conjuntos com tamanhos diferentes para facilitar.

Passo 5

Vamos definir os conjuntos:
  • Seja
  • Seja

Passo 6

Agora, vamos definir a função da seguinte forma:

Passo 7

Vamos verificar se é injetora:
  • Cada elemento de é mapeado para um elemento distinto de ( , , são todos diferentes). Então, não tem dois elementos de que apontam para o mesmo elemento de . Logo, é injetora.

Passo 8

Agora, vamos verificar se é sobrejetora:
  • O conjunto tem quatro elementos: , , , .
  • A função mapeia apenas para , e . O elemento de não é atingido por nenhum elemento de .
  • Portanto, não é sobrejetora.

Resposta

Um exemplo de função injetora que não é sobrejetora é definida por , e , onde e .

Exercícios relacionados

Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.
Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.
Considere as funções e . Determine o domínio e as expressões para as funções e .
Seja . Determine .