Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Dê um exemplo de função injetora que não é sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema está pedindo para a gente dar um exemplo de uma função que é injetora mas não é sobrejetora entre dois conjuntos não vazios, chamados A e B. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades de funções.

Passo 2

Primeiro, função injetora (ou simplesmente injetiva) é aquela em que elementos diferentes de A são mapeados para elementos diferentes em B. Ou seja, se , então necessariamente . Isso evita que dois elementos diferentes de A tenham a mesma imagem em B.

Passo 3

Agora, função sobrejetora (ou simplesmente sobrejetiva) é aquela em que todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Em outras palavras, a função “cobre” todo o conjunto B, sem deixar nenhum elemento de fora.

Passo 4

Para encontrar uma função que seja injetora mas não sobrejetora, precisamos que cada elemento de A seja mapeado de forma única em B, mas que ainda sobre B restem elementos que não são alcançados por nenhum elemento de A. Vamos usar conjuntos com tamanhos diferentes para facilitar.

Passo 5

Vamos definir os conjuntos:
  • Seja
  • Seja

Passo 6

Agora, vamos definir a função da seguinte forma:

Passo 7

Vamos verificar se f é injetora:
  • Cada elemento de A é mapeado para um elemento distinto de B ( a, b, c são todos diferentes). Então, não tem dois elementos de A que apontam para o mesmo elemento de B. Logo, f é injetora.

Passo 8

Agora, vamos verificar se f é sobrejetora:
  • O conjunto B tem quatro elementos: a, b, c, d.
  • A função f mapeia apenas para a, b e c. O elemento d de B não é atingido por nenhum elemento de A.
  • Portanto, f não é sobrejetora.

Resposta

Um exemplo de função injetora que não é sobrejetora é definida por , e , onde e .

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