Sejam
e
dois conjuntos não vazios. Dê um exemplo de função injetora que não é sobrejetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema está pedindo para a gente dar um exemplo de uma função que é injetora mas não é sobrejetora entre dois conjuntos não vazios, chamados
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades de funções.
Passo 2
Primeiro, função injetora (ou simplesmente injetiva) é aquela em que elementos diferentes de
são mapeados para elementos diferentes em
. Ou seja, se
, então necessariamente
. Isso evita que dois elementos diferentes de
tenham a mesma imagem em
.
Passo 3
Agora, função sobrejetora (ou simplesmente sobrejetiva) é aquela em que todo elemento de
é a imagem de pelo menos um elemento de
. Em outras palavras, a função “cobre” todo o conjunto
, sem deixar nenhum elemento de fora.
Passo 4
Para encontrar uma função que seja injetora mas não sobrejetora, precisamos que cada elemento de
seja mapeado de forma única em
, mas que ainda sobre
restem elementos que não são alcançados por nenhum elemento de
. Vamos usar conjuntos com tamanhos diferentes para facilitar.
Passo 5
Vamos definir os conjuntos:
- Seja
- Seja
Passo 6
Agora, vamos definir a função
da seguinte forma:
Passo 7
Vamos verificar se
é injetora:
- Cada elemento de
é mapeado para um elemento distinto de ( , , são todos diferentes). Então, não tem dois elementos de que apontam para o mesmo elemento de . Logo, é injetora.
Passo 8
Agora, vamos verificar se
é sobrejetora:
- O conjunto
tem quatro elementos: , , , . - A função
mapeia apenas para , e . O elemento de não é atingido por nenhum elemento de . - Portanto,
não é sobrejetora.
Resposta
Um exemplo de função injetora que não é sobrejetora é
definida por
,
e
, onde
e
.