Considere as funções e . Faça o seguinte:
(d)Verifique a validade da regra da cadeia obtendo a matriz Jacobianas de a partir das matrizes obtidas em (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a regra da cadeia funciona para as funções dadas, usando as matrizes Jacobianas. A regra da cadeia é uma ferramenta importante no cálculo para compor funções e entender como pequenas mudanças em uma função afetam outra. Aqui, vamos precisar das matrizes Jacobianas das funções e , e depois usar a regra da cadeia para encontrar a matriz Jacobiana da composição .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz Jacobiana. Para uma função que tem várias variáveis, a matriz Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais dessas funções em relação a cada variável. Ela nos ajuda a entender como a função se comporta localmente.
Vamos começar calculando a matriz Jacobiana da função :

Passo 3

Agora, vamos calcular a matriz Jacobiana da função :

Passo 4

Agora, queremos encontrar a matriz Jacobiana da composição . Pela regra da cadeia, a matriz Jacobiana de é o produto das matrizes Jacobianas de avaliadas em e de .
Primeiro, avaliamos em :
Agora, multiplicamos essa matriz pela matriz Jacobiana de :
Vamos multiplicar as matrizes:

Resposta

A matriz Jacobiana da composição é:

Exercícios relacionados

Uma espaçonave está em apuros perto do lado ensolarado de Mercúrio. A temperatura em graus Celsius do casco da nave quando ela está na localização será dada por
onde , y e são medido em metros. Ele está atualmente em .
a) Em que direção deve mover a fim de diminuir a temperatura mais rapidamente?
Considere as funções e . Faça o seguinte:
©Encontre a matriz Jacobiana por cálculo direto das derivadas parciais.
Seja . Determine .
Uma espaçonave está em apuros perto do lado ensolarado de Mercúrio. A temperatura em graus Celsius do casco da nave quando ela está na localização será dada por
onde , y e são medido em metros. Ele está atualmente em .
b) Se a espaçonave viaja a metros por segundo, quão rápido será a diminuição da temperatura se ele prosseguir Essa direção?