Considere as funções f(x, y) = (x * y, x / y) e g(x, y) = (x^2, x + y^2). Faça o seguinte:
(d)Verifique a validade da regra da cadeia obtendo a matriz Jacobianas de g(f) a partir das matrizes obtidas em (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a regra da cadeia funciona para as funções dadas, usando as matrizes Jacobianas. A regra da cadeia é uma ferramenta importante no cálculo para compor funções e entender como pequenas mudanças em uma função afetam outra. Aqui, vamos precisar das matrizes Jacobianas das funções e , e depois usar a regra da cadeia para encontrar a matriz Jacobiana da composição .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz Jacobiana. Para uma função que tem várias variáveis, a matriz Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais dessas funções em relação a cada variável. Ela nos ajuda a entender como a função se comporta localmente.
Vamos começar calculando a matriz Jacobiana da função :

Passo 3

Agora, vamos calcular a matriz Jacobiana da função :

Passo 4

Agora, queremos encontrar a matriz Jacobiana da composição . Pela regra da cadeia, a matriz Jacobiana de é o produto das matrizes Jacobianas de avaliadas em e de .
Primeiro, avaliamos em :
Agora, multiplicamos essa matriz pela matriz Jacobiana de :
Vamos multiplicar as matrizes:

Resposta

A matriz Jacobiana da composição é:

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