Uma espaçonave está em apuros perto do lado ensolarado de Mercúrio. A temperatura em graus Celsius do casco da nave quando ela está na localização (x, y, z) será dada por
T(x, y, z) = e^(10 - x^2 - 2y^2 - 2z^2)
onde x, y e z são medido em metros. Ele está atualmente em (1, 1, 1).
b) Se a espaçonave viaja a e^5 metros por segundo, quão rápido será a diminuição da temperatura se ele prosseguir Essa direção?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como a temperatura do casco da espaçonave muda quando ela se movimenta. A gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a derivada direcional, para descobrir quão rápido a temperatura está diminuindo quando a nave se move na direção dada. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função de temperatura e depois usar a velocidade fornecida para encontrar a taxa de mudança da temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de temperatura:
Essa função nos diz a temperatura em qualquer ponto (x, y, z) no espaço. A espaçonave está na posição (1, 1, 1).

Passo 3

Para descobrir como a temperatura muda quando a nave se move, precisamos calcular o gradiente da função de temperatura. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são as derivadas parciais em relação a cada variável.
Vamos calcular as derivadas parciais de T:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (1, 1, 1):
Então:
Portanto, o gradiente no ponto (1, 1, 1) é:

Passo 5

A taxa de mudança da temperatura na direção em que a nave está se movendo é chamada de derivada direcional. Ela é calculada como o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção do movimento.
Primeiro, vamos identificar o vetor de movimento. A nave está se movendo a uma velocidade de e^5 metros por segundo. Vamos supor que ela está se movendo na direção do gradiente (que é a direção de maior aumento da temperatura), mas como queremos a diminuição, vamos considerar a direção oposta.
Então, o vetor de velocidade v é:
Para simplificar, vamos primeiro calcular a magnitude do gradiente :
Então, o vetor unitário na direção do gradiente é:

Passo 6

Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Vamos calcular isso passo a passo:
Somando tudo:

Passo 7

Mas atenção! A derivada direcional que calculamos representa a taxa de aumento da temperatura na direção do movimento. Como queremos a diminuição da temperatura, devemos considerar o sinal negativo.
Então, a taxa de diminuição da temperatura é:

Resposta

A temperatura está diminuindo a uma taxa de graus Celsius por segundo.

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