Uma espaçonave está em apuros perto do lado ensolarado de Mercúrio. A temperatura em graus Celsius do casco da nave quando ela está na localização será dada por
onde , y e são medido em metros. Ele está atualmente em .
b) Se a espaçonave viaja a metros por segundo, quão rápido será a diminuição da temperatura se ele prosseguir Essa direção?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como a temperatura do casco da espaçonave muda quando ela se movimenta. A gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a derivada direcional, para descobrir quão rápido a temperatura está diminuindo quando a nave se move na direção dada. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função de temperatura e depois usar a velocidade fornecida para encontrar a taxa de mudança da temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de temperatura:
Essa função nos diz a temperatura em qualquer ponto no espaço. A espaçonave está na posição .
Passo 3
Para descobrir como a temperatura muda quando a nave se move, precisamos calcular o gradiente da função de temperatura. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são as derivadas parciais em relação a cada variável.
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então:
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 5
A taxa de mudança da temperatura na direção em que a nave está se movendo é chamada de derivada direcional. Ela é calculada como o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção do movimento.
Primeiro, vamos identificar o vetor de movimento. A nave está se movendo a uma velocidade de metros por segundo. Vamos supor que ela está se movendo na direção do gradiente (que é a direção de maior aumento da temperatura), mas como queremos a diminuição, vamos considerar a direção oposta.
Então, o vetor de velocidade é:
Para simplificar, vamos primeiro calcular a magnitude do gradiente :
Então, o vetor unitário na direção do gradiente é:
Passo 6
Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Vamos calcular isso passo a passo:
Somando tudo:
Passo 7
Mas atenção! A derivada direcional que calculamos representa a taxa de aumento da temperatura na direção do movimento. Como queremos a diminuição da temperatura, devemos considerar o sinal negativo.
Então, a taxa de diminuição da temperatura é:
Resposta
A temperatura está diminuindo a uma taxa de graus Celsius por segundo.