Considere as funções dos ítens (I), (II) e (III) abaixo:
(I)
dada por
.
(II)
dada por
.
(III)
dada por
.
Marque qual das afirmativas abaixo é VERDADEIRA:
(A) Apenas a função do item (I) é uma transformação linear.
(B) Apenas a função do item (II) é uma transformação linear.
© Apenas a função do item (III) é uma transformação linear.
(D) Apenas as funções dos ítens (I) e (II) são transformações lineares.
(E) Apenas as funções dos ítens (I) e (III) são transformações lineares.
(F) Apenas as funções dos ítens (II) e (III) são transformações lineares.
(G) As funções dos ítens (I), (II) e (III) são transformações lineares.
(H) Nenhuma das funções apresentadas é transformação linear.
(I)
(II)
(III)
Marque qual das afirmativas abaixo é VERDADEIRA:
(A) Apenas a função do item (I) é uma transformação linear.
(B) Apenas a função do item (II) é uma transformação linear.
© Apenas a função do item (III) é uma transformação linear.
(D) Apenas as funções dos ítens (I) e (II) são transformações lineares.
(E) Apenas as funções dos ítens (I) e (III) são transformações lineares.
(F) Apenas as funções dos ítens (II) e (III) são transformações lineares.
(G) As funções dos ítens (I), (II) e (III) são transformações lineares.
(H) Nenhuma das funções apresentadas é transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta quais das três funções dadas são transformações lineares. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como verificar se uma função satisfaz essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma função
que mapeia de um espaço vetorial para outro é linear se ela respeita duas propriedades:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar cada função para ver se elas seguem essas regras.
Passo 3
Função (I):
Primeiro, note que há o
, que é o valor absoluto de
. O problema com isso é que o valor absoluto não preserva a linearidade, porque
não é igual a
a menos que
. Isso já quebra a propriedade de aditividade e homogeneidade. Portanto,
não é uma transformação linear.
Passo 4
Função (II):
Vamos ver a segunda componente:
. A função cosseno não é linear porque não preserva aditividade nem homogeneidade. Por exemplo,
. Além disso,
, então
parece ok, mas a parte do cosseno quebra a linearidade. Então,
não é uma transformação linear.
Passo 5
Função (III):
Aqui, estamos lidando com polinômios de segundo grau. Vamos verificar as propriedades:
- Aditividade:
? Se e , então . Já . Parece que funciona, mas: - Homogeneidade:
? Se , então . Já . Isso só funciona se , então não é linear para outros .
Portanto,
não é uma transformação linear.
Resposta
(A) Apenas a função do item (I) é uma transformação linear.