Considere as funções dos ítens (I), (II) e (III) abaixo:
(I) T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(x-|y|+z, 3 x+2 y).
(II) S: R^2 R^2 dada por S(x, y)=(-x+3 y, 1-cos x).
(III) U: P2(R) P2(R) dada por U(a x^2+b x+c)=b x^2+a^2 x+1.
Marque qual das afirmativas abaixo é VERDADEIRA:
(A) Apenas a função do item (I) é uma transformação linear.
(B) Apenas a função do item (II) é uma transformação linear.
© Apenas a função do item (III) é uma transformação linear.
(D) Apenas as funções dos ítens (I) e (II) são transformações lineares.
(E) Apenas as funções dos ítens (I) e (III) são transformações lineares.
(F) Apenas as funções dos ítens (II) e (III) são transformações lineares.
(G) As funções dos ítens (I), (II) e (III) são transformações lineares.
(H) Nenhuma das funções apresentadas é transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta quais das três funções dadas são transformações lineares. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como verificar se uma função satisfaz essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma função que mapeia de um espaço vetorial para outro é linear se ela respeita duas propriedades:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar cada função para ver se elas seguem essas regras.

Passo 3

Função (I):
Primeiro, note que há o , que é o valor absoluto de . O problema com isso é que o valor absoluto não preserva a linearidade, porque não é igual a a menos que . Isso já quebra a propriedade de aditividade e homogeneidade. Portanto, não é uma transformação linear.

Passo 4

Função (II):
Vamos ver a segunda componente: . A função cosseno não é linear porque não preserva aditividade nem homogeneidade. Por exemplo, . Além disso, , então parece ok, mas a parte do cosseno quebra a linearidade. Então, não é uma transformação linear.

Passo 5

Função (III):
Aqui, estamos lidando com polinômios de segundo grau. Vamos verificar as propriedades:
  • Aditividade: ? Se e , então . Já . Parece que funciona, mas:
  • Homogeneidade: ? Se , então . Já . Isso só funciona se , então não é linear para outros .
Portanto, não é uma transformação linear.

Resposta

(A) Apenas a função do item (I) é uma transformação linear.

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