Dados vetores u=(3,1,6) e v=(-2,0,1), calcule: A área do paralelogramo definido por u e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores e . Para isso, vamos precisar usar o produto vetorial e calcular o módulo desse produto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor resultante é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores e .

Passo 3

Para calcular o produto vetorial u times v = i & j & k 3 & 1 & 6 -2 & 0 & 1 , usamos a seguinte fórmula:
Isso significa que vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante:
u times v = i(1 cdot 1 - 6 cdot 0) - j(3 cdot 1 - 6 cdot (-2)) + k(3 cdot 0 - 1 cdot (-2))
Simplificando cada parte:
u times v = i(1) - j(3 + 12) + k(0 + 2)
u times v = i - 15j + 2k
Então, o vetor produto vetorial é:
u times v = (1, -15, 2)

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor para encontrar a área do paralelogramo. A fórmula para o módulo de um vetor |w| = raizwx^2 + wy^2 + wz^2 é:
|u times v| = raiz1^2 + (-15)^2 + 2^2 = raiz1 + 225 + 4 = raiz230
Aplicando isso ao nosso vetor :

Resposta

A área do paralelogramo definido por e é unidades de área, aproximadamente 15,17.

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