Dados vetores e , calcule: A área do paralelogramo definido por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores e . Para isso, vamos precisar usar o produto vetorial e calcular o módulo desse produto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor resultante é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores e .
Passo 3
Para calcular o produto vetorial , usamos a seguinte fórmula:
Isso significa que vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 4
Calculando o determinante:
u times v = i(1 cdot 1 - 6 cdot 0) - j(3 cdot 1 - 6 cdot (-2)) + k(3 cdot 0 - 1 cdot (-2))
Simplificando cada parte:
u times v = i(1) - j(3 + 12) + k(0 + 2)
u times v = i - 15j + 2k
Então, o vetor produto vetorial é:
u times v = (1, -15, 2)
Passo 5
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor para encontrar a área do paralelogramo. A fórmula para o módulo de um vetor |w| = raizwx^2 + wy^2 + wz^2 é: