Dados os vetores u=2 i-3 j, v=i-j e w=-2 i+j, determinar
a) 2 u-v
b) 12 u-2 v-w
c) v-u+2 w
d) u-12 v-12 w

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! O enunciado pede para calcular combinações lineares dos vetores u, v e w. Para isso, vamos usar as operações de multiplicação por escalar e adição de vetores. Vamos por partes:

Passo 2

a) 2 u - v
Primeiro, multiplicamos o vetor u por 2:
2 u = 2(2 i - 3 j) = 4 i - 6 j
Agora, subtraímos o vetor v:
2 u - v = (4 i - 6 j) - (i - j) = 4i - 6j - i + j = 3i - 5j

Passo 3

b) 12 u - 2 v - w
Vamos multiplicar cada vetor pelos escalares respectivamente:
12 u = 12(2 i - 3 j) = i - 32 j
-2 v = -2(i - j) = -2 i + 2 j
-w = -(-2 i + j) = 2 i - j
Agora, somamos todos os termos:
12 u - 2 v - w = (i - 32 j) + (-2 i + 2 j) + (2 i - j) = (1 -2 +2)i + (-32 +2 -1)j = 1i - 12j

Passo 4

c) v - u + 2 w
Vamos calcular cada operação passo a passo:
v - u = (i - j) - (2 i - 3 j) = i - j -2 i +3 j = -i +2 j
Agora, multiplicamos w por 2:
2 w = 2(-2 i + j) = -4 i +2 j
Somando os resultados:
v - u + 2 w = (-i +2 j) + (-4 i +2 j) = (-1 -4)i + (2 +2)j = -5i +4j

Passo 5

d) u - 12 v - 12 w
Vamos calcular cada termo:
12 v = 12(i - j) = 12i - 12j
12 w = 12(-2 i + j) = -i + 12j
Agora, subtraímos esses valores de u:
u - 12 v - 12 w = (2 i -3 j) - (12i - 12j) - (-i + 12j)
Simplificando:
= 2i -3j - 12i + 12j + i - 12j
Agrupando os termos:
= (2 - 12 +1)i + (-3 + 12 - 12)j = 52i -3j

Resposta

a) 2 u - v = 3i -5j
b) 12 u - 2 v - w = i - 12j
c) v - u + 2 w = -5i +4j
d) u - 12 v - 12 w = 52i -3j

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