Responda SIM ou NÃO às perguntas abaixo, com as justificativas adequadas, conforme as opções apresentadas:
(3-a) Pode haver uma transformação linear injetora cuja imagem seja
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: queremos saber se existe uma transformação linear injetora cuja imagem seja . Para resolver isso, precisamos entender conceitos de transformações lineares, injetividade e independência linear.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma transformação linear é injetora se ela não “colapsa” elementos distintos de em um único elemento de . Isso acontece se, e somente se, o núcleo de contém apenas o vetor zero. Em termos de dimensão, para ser injetora, a dimensão da imagem de deve ser igual à dimensão do espaço de partida, que é 4.
Passo 3
Agora, vamos verificar a dimensão da imagem . Precisamos saber se esses quatro polinômios são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que resulta no polinômio nulo é quando todos os coeficientes são zero.
Passo 4
Vamos verificar a independência linear:
Suponha que exista tais que:
Simplificando:
Para que isso seja igual ao polinômio nulo para todo , os coeficientes devem ser zero:
Isso implica que , e . Como existe uma solução não trivial (por exemplo, , , ), os polinômios são linearmente dependentes.
Resposta
NÃO, pois os polinômios na imagem são linearmente dependentes, o que impede que seja injetora.