Responda SIM ou NÃO às perguntas abaixo, com as justificativas adequadas, conforme as opções apresentadas:
(3-a) Pode haver uma transformação linear injetora S: R^4 P3(R) cuja imagem seja Im S=[x^3, x^3-2, x, 1] ?

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: queremos saber se existe uma transformação linear injetora cuja imagem seja . Para resolver isso, precisamos entender conceitos de transformações lineares, injetividade e independência linear.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma transformação linear é injetora se ela não “colapsa” elementos distintos de em um único elemento de . Isso acontece se, e somente se, o núcleo de contém apenas o vetor zero. Em termos de dimensão, para ser injetora, a dimensão da imagem de deve ser igual à dimensão do espaço de partida, que é 4.

Passo 3

Agora, vamos verificar a dimensão da imagem . Precisamos saber se esses quatro polinômios são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que resulta no polinômio nulo é quando todos os coeficientes são zero.

Passo 4

Vamos verificar a independência linear:
Suponha que exista a x^3 + b (x^3 - 2) + c x + d cdot 1 = 0 tais que:
(a + b) x^3 + c x + (d - 2b) = 0
Simplificando:
a + b = 0 c = 0 d - 2b = 0
Para que isso seja igual ao polinômio nulo para todo , os coeficientes devem ser zero:
Isso implica que , e . Como existe uma solução não trivial (por exemplo, , , ), os polinômios são linearmente dependentes.

Resposta

NÃO, pois os polinômios na imagem são linearmente dependentes, o que impede que seja injetora.

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