Considere as funções
, e
, onde
,
e
.
a) Determine a função composta
.
b) Verifique se
é uma função bijetora. Justifique sua resposta.
a) Determine a função composta
b) Verifique se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem duas funções aqui: a função
que vai de
para
e é dada por
, e a função
que vai de
para
e é dada por
. Os conjuntos são
,
e
. Vamos precisar entender composição de funções para resolver esse exercício. Isso significa que vamos aplicar uma função depois da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a função composta
. A composição
significa que para cada elemento
em
, primeiro aplicamos
e depois aplicamos
no resultado de
. Ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular
para cada
em
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 4
Agora, vamos aplicar
nos resultados de
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
Juntando tudo, a função composta
mapeia cada elemento de
para
da seguinte forma:
Passo 6
Agora, vamos verificar se a função composta
é bijetora. Uma função é bijetora se ela for injetora (nenhum elemento de
mapeia para o mesmo elemento de
) e sobrejetora (todos os elementos de
são atingidos por
).
Passo 7
Injetividade: Observamos que cada elemento de
está mapeando para um elemento único em
(9, 25, 49), sem repetições. Portanto,
é injetora.
Sobrejetividade: Todos os elementos de
(9, 25, 49) são atingidos pela função
. Cada número em
tem um correspondente em
através de
e
. Assim,
é sobrejetora.
Resposta
A função composta
é
e ela é bijetora.
Exercícios relacionados
Utilize as relações trigonométricas
e mostre que
a)
e mostre que
a)
Utilize as relações trigonométricas
e mostre que
c) …
e mostre que
c)
Sejam as funções
e
.
a) Determine e
.
b) Encontre a inversa da função composta .
a) Determine
b) Encontre a inversa da função composta
Prove que
é uma soluçāo da EDO dada por
.