Considere as funções f: A -> B, f(x) = 2x + 1, e g: B -> C, g(y) = y^2, onde A = {1, 2, 3}, B={3,5,7} e C = {9, 25, 49}.
a) Determine a função composta g(f).
b) Verifique se g(f) é uma função bijetora. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas funções aqui: a função que vai de para e é dada por , e a função que vai de para e é dada por . Os conjuntos são , e . Vamos precisar entender composição de funções para resolver esse exercício. Isso significa que vamos aplicar uma função depois da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a função composta . A composição significa que para cada elemento em , primeiro aplicamos e depois aplicamos no resultado de . Ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular para cada em :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora, vamos aplicar nos resultados de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Juntando tudo, a função composta mapeia cada elemento de para da seguinte forma:

Passo 6

Agora, vamos verificar se a função composta é bijetora. Uma função é bijetora se ela for injetora (nenhum elemento de mapeia para o mesmo elemento de ) e sobrejetora (todos os elementos de são atingidos por ).

Passo 7

Injetividade: Observamos que cada elemento de está mapeando para um elemento único em (9, 25, 49), sem repetições. Portanto, é injetora.
Sobrejetividade: Todos os elementos de (9, 25, 49) são atingidos pela função . Cada número em tem um correspondente em através de e . Assim, é sobrejetora.

Resposta

A função composta é e ela é bijetora.

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