Prove que f(t) = e^(2 t) é uma soluçāo da EDO dada por d^2 f(t)/dt^2 - 5 df(t)/dt + 6 f(t) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que a função resolve a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente de resolução de EDOs lineares de segunda ordem. Pra resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função e substituir na equação para ver se ela satisfaz a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada primeira de . A derivada de em relação a é . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada segunda de . Isso significa derivar novamente a derivada primeira:

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos substituir , e na EDO original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:

Resposta

A substituição da função na EDO resulta em , o que confirma que é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.

Exercícios relacionados

Sejam as funções f: [0, infinito) -> R, f(x) = x^2 + 1 e g(x) = 2x - 3.
a) Determine f^(-1)(x) e g^(-1)(x).
b) Encontre a inversa da função composta h(x) = g(f(x)).
Considere as funções f: A -> B, f(x) = 2x + 1, e g: B -> C, g(y) = y^2, onde A = {1, 2, 3}, B={3,5,7} e C = {9, 25, 49}.
a) Determine a função composta g(f).
b) Verifique se g(f) é uma função bijetora. Justifique sua resposta.
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50. s(x, y) = tg^(-1)(y / x)
Exercício 2 Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
c) F(x, y, z) = (x + y) i + (y + z) j + (x + z) k sobre um objeto que se move sobre o segmento de reta ligando a origem ao ponto (1, 2, 4).