Sejam as funções
e
.
a) Determine
e
.
b) Encontre a inversa da função composta
.
a) Determine
b) Encontre a inversa da função composta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as funções inversas de
e
, além da inversa da função composta
. Para isso, vamos usar o conceito de função inversa, que basicamente “desfaz” o que a função original faz. Vamos precisar saber como resolver equações e entender que uma função inversa troca os papéis de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a inversa da função
. A função inversa
é aquela que nos dá o valor de
original quando aplicamos
sobre ele. Para achar
, seguimos esses passos:
-
Trocar
por : -
Trocar
e : -
Resolver para
: Aqui, consideramos apenas a raiz positiva porque a função originalestá definida para .
Então, a inversa de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inversa da função
. Esse processo é mais direto. Para achar
, fazemos:
- Trocar
por : - Trocar
e : - Resolver para
:
Então, a inversa de
é:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte do exercício: encontrar a inversa da função composta
. Primeiro, vamos entender o que é essa função composta.
-
Calcular
: Então,. -
Agora, para encontrar
, seguimos o mesmo processo de inverter a função: Mais uma vez, consideramos apenas a raiz positiva para manter a função inversa bem definida.
Então, a inversa de
é:
Resposta
a) As funções inversas são:
b) A inversa da função composta
é:
Exercícios relacionados
Considere as funções
, e
, onde
,
e
.
a) Determine a função composta .
b) Verifique se é uma função bijetora. Justifique sua resposta.
a) Determine a função composta
b) Verifique se
Utilize as relações trigonométricas
e mostre que
a)
e mostre que
a)
Prove que
é uma soluçāo da EDO dada por
.
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.