Sejam as funções f: [0, infinito) -> R, f(x) = x^2 + 1 e g(x) = 2x - 3.
a) Determine f^(-1)(x) e g^(-1)(x).
b) Encontre a inversa da função composta h(x) = g(f(x)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as funções inversas de e , além da inversa da função composta . Para isso, vamos usar o conceito de função inversa, que basicamente “desfaz” o que a função original faz. Vamos precisar saber como resolver equações e entender que uma função inversa troca os papéis de e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inversa da função . A função inversa é aquela que nos dá o valor de original quando aplicamos sobre ele. Para achar , seguimos esses passos:
  1. Trocar por :
  2. Trocar e :
  3. Resolver para :
    Aqui, consideramos apenas a raiz positiva porque a função original está definida para .
Então, a inversa de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inversa da função . Esse processo é mais direto. Para achar , fazemos:
  1. Trocar por :
  2. Trocar e :
  3. Resolver para :
Então, a inversa de é:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte do exercício: encontrar a inversa da função composta . Primeiro, vamos entender o que é essa função composta.
  1. Calcular :
    Então, .
  2. Agora, para encontrar , seguimos o mesmo processo de inverter a função:
    Mais uma vez, consideramos apenas a raiz positiva para manter a função inversa bem definida.
Então, a inversa de é:

Resposta

a) As funções inversas são:
b) A inversa da função composta é:

Exercícios relacionados

Considere as funções f: A -> B, f(x) = 2x + 1, e g: B -> C, g(y) = y^2, onde A = {1, 2, 3}, B={3,5,7} e C = {9, 25, 49}.
a) Determine a função composta g(f).
b) Verifique se g(f) é uma função bijetora. Justifique sua resposta.
Utilize as relações trigonométricas
sen(a +- b) = sen(a) * cos(b) +- sen(b) * cos(a)
cos(a ± b) = cos(a) * cos(b) ∓ sen(a) * sen(b)
e mostre que
a) sen(theta + pi / 2) = ...
Prove que f(t) = e^(2 t) é uma soluçāo da EDO dada por d^2 f(t)/dt^2 - 5 df(t)/dt + 6 f(t) = 0.
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