Considere as funções
e
, definidas no intervalo
. Determine a área da região limitada pelos gráficos de f e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções,
e
, definidas no intervalo de 0 a 1. A missão é descobrir qual é a área da região que fica entre esses dois gráficos nesse intervalo. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo, mais especificamente de integração, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas duas funções se comportam no intervalo de 0 a 1. A função
é a raiz cúbica de x, que cresce de forma mais suave, enquanto
é uma função cúbica que cresce mais rapidamente. Vamos ver qual delas está por cima nesse intervalo.
Passo 3
Vamos comparar os valores das funções em alguns pontos para ver qual está maior:
- Em
: e → iguais. - Em
: e → . - Em
: e → iguais novamente.
Então, no intervalo de 0 a 1,
está sempre acima de
.
Passo 4
Agora que sabemos que
está acima de
, a área entre as duas curvas pode ser encontrada subtraindo
de
e integrando essa diferença de 0 a 1. A fórmula fica assim:
Passo 5
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, precisamos integrar
e
separadamente.
A integral de
é:
A integral de
é:
Passo 6
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1 para cada parte:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, subtraímos os resultados:
Resposta
A área da região limitada pelos gráficos de
e
no intervalo
é
unidades de área.