Considere as funções e , definidas no intervalo . Determine a área da região limitada pelos gráficos de f e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções, e , definidas no intervalo de 0 a 1. A missão é descobrir qual é a área da região que fica entre esses dois gráficos nesse intervalo. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo, mais especificamente de integração, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas duas funções se comportam no intervalo de 0 a 1. A função é a raiz cúbica de x, que cresce de forma mais suave, enquanto é uma função cúbica que cresce mais rapidamente. Vamos ver qual delas está por cima nesse intervalo.

Passo 3

Vamos comparar os valores das funções em alguns pontos para ver qual está maior:
  • Em : e → iguais.
  • Em : e .
  • Em : e → iguais novamente.
Então, no intervalo de 0 a 1, está sempre acima de .

Passo 4

Agora que sabemos que está acima de , a área entre as duas curvas pode ser encontrada subtraindo de e integrando essa diferença de 0 a 1. A fórmula fica assim:
Á

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, precisamos integrar e separadamente.
A integral de é:
A integral de é:

Passo 6

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1 para cada parte:
Á
Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 7

Agora, subtraímos os resultados:
Á

Resposta

A área da região limitada pelos gráficos de e no intervalo é unidades de área.

Exercícios relacionados

Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.
Utilizando o Critério de De Morgan, verifique se a série
converge ou diverge.
A função tem ponto de mínimo ou ponto de máximo? Dar as coordenadas desse ponto, ou seja, determinar .
Esboce o gráfico e determine o ponto de mínimo ou máximo de cada função.