Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar o limite dela. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e como as funções se comportam quando
cresce bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da sequência conforme
fica bem grande. No numerador, temos
. Sabemos que
oscila entre -1 e 1, então, quando
aumenta,
domina, porque cresce sem limite, enquanto
fica sempre limitado. Portanto,
é praticamente igual a
para valores grandes de
.
No denominador, temos
. Assim como no numerador,
cresce sem limite e domina o termo constante
. Então,
é aproximadamente igual a
quando
é muito grande.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão da sequência usando essas observações. Ficaria assim:
Aqui, cancelamos o
tanto no numerador quanto no denominador:
Passo 4
Como a simplificação nos mostrou, à medida que
aumenta, a sequência
se aproxima de
. Isso significa que o limite da sequência existe e é igual a
. Portanto, a sequência é convergente.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é
.
Exercícios relacionados
Utilizando o Critério de De Morgan, verifique se a série
converge ou diverge.
Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:
Considere as funções
e
, definidas no intervalo
. Determine a área da região limitada pelos gráficos de f e
.
A função
tem ponto de mínimo ou ponto de máximo? Dar as coordenadas desse ponto, ou seja, determinar
.