Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar o limite dela. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e como as funções se comportam quando cresce bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da sequência conforme fica bem grande. No numerador, temos . Sabemos que oscila entre -1 e 1, então, quando aumenta, domina, porque cresce sem limite, enquanto fica sempre limitado. Portanto, é praticamente igual a para valores grandes de .
No denominador, temos . Assim como no numerador, cresce sem limite e domina o termo constante . Então, é aproximadamente igual a quando é muito grande.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão da sequência usando essas observações. Ficaria assim:
Aqui, cancelamos o tanto no numerador quanto no denominador:

Passo 4

Como a simplificação nos mostrou, à medida que aumenta, a sequência se aproxima de . Isso significa que o limite da sequência existe e é igual a . Portanto, a sequência é convergente.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

Exercícios relacionados

Utilizando o Critério de De Morgan, verifique se a série
converge ou diverge.
Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:
Considere as funções e , definidas no intervalo . Determine a área da região limitada pelos gráficos de f e .
A função tem ponto de mínimo ou ponto de máximo? Dar as coordenadas desse ponto, ou seja, determinar .