Considere as funções a seguir ( é parte inteira de ):

Elas são integráveis em ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos se as funções e são integráveis no intervalo . Vamos precisar entender um pouco sobre integração de funções e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é uma função integrável. No contexto de Riemann, uma função é integrável em um intervalo se ela for limitada nesse intervalo e o conjunto de seus pontos de descontinuidade tiver medida zero (ou seja, eles não ocupam “espaço” no intervalo). Isso quer dizer que, mesmo que a função tenha muitos pontos de descontinuidade, se esses pontos forem “pouquíssimos” em termos de medida, a função ainda pode ser integrável.

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira função:
A função seno, , é limitada entre -1 e 1 para todo , e definimos . Portanto, é limitada no intervalo .

Passo 4

Agora, vamos verificar as descontinuidades de . A função oscila cada vez mais rapidamente à medida que se aproxima de 0, o que significa que ela tem muitas descontinuidades acumuladas em 0. No entanto, o conjunto desses pontos de descontinuidade é apenas o ponto , que tem medida zero.

Passo 5

Como é limitada e suas descontinuidades têm medida zero, segundo os critérios de integrabilidade de Riemann, podemos concluir que é integrável no intervalo .

Passo 6

Agora, vamos para a segunda função:
Aqui, representa a parte inteira de . Como varia entre -1 e 1, a parte inteira será:
Portanto, é uma função constante por partes, alternando entre -1 e 0 conforme os valores de .

Passo 7

Vamos verificar se é limitada. Como assume apenas os valores -1 e 0, ela é claramente limitada no intervalo .

Passo 8

Agora, analisamos as descontinuidades de . A função muda de positivo para negativo infinitamente muitas vezes conforme , o que faz com que também tenha descontinuidades infinitas acumuladas em 0. No entanto, novamente, o conjunto dessas descontinuidades é apenas o ponto , que tem medida zero.

Passo 9

Assim, como também é limitada e suas descontinuidades têm medida zero, ela também é integrável no intervalo segundo os critérios de Riemann.

Resposta

Ambas as funções e são integráveis no intervalo .

Exercícios relacionados

Mostre, usando a definição de integral, que:
a) Se é uma função par e é integrável em , então é também integrável em e vale . Deduza que se então .
b) Se é uma função ímpar e é integrável em , então é também integrável em e vale . Deduza que se então .
h)
Sabe dizer, sem fazer contas, quanto vale a integral a seguir?
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de ).
(d) .