Considere as funções a seguir ( [[y]] é parte inteira de y ):
f1(x)=llsin (1 / x) & x in(0,1], 0 & x=0, f2(x)= [[sin (1 / x)]] & x in(0,1], 0 & x=0
Elas são integráveis em [0,1] ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos se as funções e são integráveis no intervalo . Vamos precisar entender um pouco sobre integração de funções e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é uma função integrável. No contexto de Riemann, uma função é integrável em um intervalo se ela for limitada nesse intervalo e o conjunto de seus pontos de descontinuidade tiver medida zero (ou seja, eles não ocupam “espaço” no intervalo). Isso quer dizer que, mesmo que a função tenha muitos pontos de descontinuidade, se esses pontos forem “pouquíssimos” em termos de medida, a função ainda pode ser integrável.

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira função:
f1(x) = sin(1x) & se x in (0,1], 0 & se x = 0
A função seno, , é limitada entre -1 e 1 para todo , e definimos . Portanto, é limitada no intervalo .

Passo 4

Agora, vamos verificar as descontinuidades de . A função oscila cada vez mais rapidamente à medida que se aproxima de 0, o que significa que ela tem muitas descontinuidades acumuladas em 0. No entanto, o conjunto desses pontos de descontinuidade é apenas o ponto , que tem medida zero.

Passo 5

Como é limitada e suas descontinuidades têm medida zero, segundo os critérios de integrabilidade de Riemann, podemos concluir que é integrável no intervalo .

Passo 6

Agora, vamos para a segunda função:
f2(x) = [[sin(1x)]] & se x in (0,1], 0 & se x = 0
Aqui, [[ sin(1x) ]] = -1 & se sin(1x) < 0, 0 & se sin(1x) >= 0 representa a parte inteira de . Como varia entre -1 e 1, a parte inteira será:
Portanto, é uma função constante por partes, alternando entre -1 e 0 conforme os valores de .

Passo 7

Vamos verificar se é limitada. Como assume apenas os valores -1 e 0, ela é claramente limitada no intervalo .

Passo 8

Agora, analisamos as descontinuidades de . A função muda de positivo para negativo infinitamente muitas vezes conforme , o que faz com que também tenha descontinuidades infinitas acumuladas em 0. No entanto, novamente, o conjunto dessas descontinuidades é apenas o ponto , que tem medida zero.

Passo 9

Assim, como também é limitada e suas descontinuidades têm medida zero, ela também é integrável no intervalo segundo os critérios de Riemann.

Resposta

Ambas as funções e são integráveis no intervalo .

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