Considere as funções a seguir (
é parte inteira de
):
Elas são integráveis em
?
Elas são integráveis em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos se as funções
e
são integráveis no intervalo
. Vamos precisar entender um pouco sobre integração de funções e continuidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é uma função integrável. No contexto de Riemann, uma função é integrável em um intervalo se ela for limitada nesse intervalo e o conjunto de seus pontos de descontinuidade tiver medida zero (ou seja, eles não ocupam “espaço” no intervalo). Isso quer dizer que, mesmo que a função tenha muitos pontos de descontinuidade, se esses pontos forem “pouquíssimos” em termos de medida, a função ainda pode ser integrável.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira função:
A função seno,
, é limitada entre -1 e 1 para todo
, e definimos
. Portanto,
é limitada no intervalo
.
Passo 4
Agora, vamos verificar as descontinuidades de
. A função
oscila cada vez mais rapidamente à medida que
se aproxima de 0, o que significa que ela tem muitas descontinuidades acumuladas em 0. No entanto, o conjunto desses pontos de descontinuidade é apenas o ponto
, que tem medida zero.
Passo 5
Como
é limitada e suas descontinuidades têm medida zero, segundo os critérios de integrabilidade de Riemann, podemos concluir que
é integrável no intervalo
.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda função:
Aqui,
representa a parte inteira de
. Como
varia entre -1 e 1, a parte inteira
será:
Portanto,
é uma função constante por partes, alternando entre -1 e 0 conforme os valores de
.
Passo 7
Vamos verificar se
é limitada. Como
assume apenas os valores -1 e 0, ela é claramente limitada no intervalo
.
Passo 8
Agora, analisamos as descontinuidades de
. A função
muda de positivo para negativo infinitamente muitas vezes conforme
, o que faz com que
também tenha descontinuidades infinitas acumuladas em 0. No entanto, novamente, o conjunto dessas descontinuidades é apenas o ponto
, que tem medida zero.
Passo 9
Assim, como
também é limitada e suas descontinuidades têm medida zero, ela também é integrável no intervalo
segundo os critérios de Riemann.
Resposta
Ambas as funções
e
são integráveis no intervalo
.
Exercícios relacionados
Mostre, usando a definição de integral, que:
a) Se é uma função par e é integrável em
, então é também integrável em
e vale
. Deduza que se
então
.
b) Se é uma função ímpar e é integrável em
, então é também integrável em
e vale
. Deduza que se
então
.
a) Se
b) Se
h)
Sabe dizer, sem fazer contas, quanto vale a integral a seguir?
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de
).
(d) .
(d)