Mostre, usando a definição de integral, que:
a) Se f: R R é uma função par e é integrável em [a, b], então é também integrável em [-b,-a] e vale integrala^b f(x) d x=integral-b^-a f(x) d x. Deduza que se a=-b então integrala^b f(x) d x=2 integral0^b f(x) d x.
b) Se f: R R é uma função ímpar e é integrável em [a, b], então é também integrável em [-b,-a] e vale integrala^b f(x) d x=-integral-b^-a f(x) d x. Deduza que se a=-b então integrala^b f(x) d x=0.

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício. O enunciado nos pede para mostrar, usando a definição de integral, que se é uma função par e é integrável no intervalo , então ela também é integrável em e que . Além disso, devemos deduzir que se , então .
Vamos precisar dos seguintes conceitos:
  • Função Par: Uma função é par se para todo no domínio de .
  • Integral Definida: Representa a área sob a curva no intervalo .

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que se é par e integrável em , então é também integrável em .
Como é par, sabemos que . Vamos fazer a substituição . Então, quando , e quando , . Além disso, .

Passo 3

Substituindo na integral integral-b^-a f(x) , dx = integralb^a f(-u) (-du) = integrala^b f(-u) , du :
integrala^b f(-u) , du = integrala^b f(u) , du
Como é par, . Portanto:

Passo 4

Assim, mostramos que:
integral-b^-a f(x) , dx = integrala^b f(u) , du
Isso confirma que é integrável em e que .

Passo 5

Agora, vamos deduzir que se integrala^b f(x) , dx = 2 integral0^b f(x) , dx , então:
integral-b^b f(x) , dx
Sabendo que , a integral fica:

Passo 6

Podemos dividir esta integral em duas partes:
integral-b^b f(x) , dx = integral-b^0 f(x) , dx + integral0^b f(x) , dx
Usando o resultado que mostramos anteriormente, temos:
integral-b^0 f(x) , dx = integral0^b f(u) , du

Passo 7

Portanto:
integral-b^b f(x) , dx = integral0^b f(u) , du + integral0^b f(x) , dx = 2 integral0^b f(x) , dx

Passo 8

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício. O enunciado nos pede para mostrar que se é uma função ímpar e é integrável no intervalo , então ela também é integrável em e que . Além disso, devemos deduzir que se , então .
Vamos precisar dos seguintes conceitos:
  • Função Ímpar: Uma função é ímpar se para todo no domínio de .
  • Integral Definida: Representa a área sob a curva no intervalo .

Passo 9

Primeiro, vamos mostrar que se é ímpar e integrável em , então é também integrável em .
Como é ímpar, sabemos que . Vamos fazer a substituição . Então, quando , e quando , . Além disso, .

Passo 10

Substituindo na integral integral-b^-a f(x) , dx = integralb^a f(-u) (-du) = integrala^b f(-u) , du :
integrala^b f(-u) , du = integrala^b -f(u) , du = -integrala^b f(u) , du
Como é ímpar, . Portanto:

Passo 11

Assim, mostramos que:
integral-b^-a f(x) , dx = -integrala^b f(u) , du
Isso confirma que é integrável em e que .

Passo 12

Agora, vamos deduzir que se integrala^b f(x) , dx = 0 , então:
integral-b^b f(x) , dx
Sabendo que , a integral fica:

Passo 13

Podemos dividir esta integral em duas partes:
integral-b^b f(x) , dx = integral-b^0 f(x) , dx + integral0^b f(x) , dx
Usando o resultado que mostramos anteriormente, temos:
integral-b^0 f(x) , dx = -integral0^b f(u) , du

Passo 14

Portanto:
integral-b^b f(x) , dx = -integral0^b f(u) , du + integral0^b f(x) , dx = 0

Resposta

Se integrala^b f(x) , dx = 0 é uma função ímpar e integrável em , então:

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