Mostre, usando a definição de integral, que:
a) Se é uma função par e é integrável em , então é também integrável em e vale . Deduza que se então .
b) Se é uma função ímpar e é integrável em , então é também integrável em e vale . Deduza que se então .

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício. O enunciado nos pede para mostrar, usando a definição de integral, que se é uma função par e é integrável no intervalo , então ela também é integrável em e que . Além disso, devemos deduzir que se , então .
Vamos precisar dos seguintes conceitos:
  • Função Par: Uma função é par se para todo no domínio de .
  • Integral Definida: Representa a área sob a curva no intervalo .

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que se é par e integrável em , então é também integrável em .
Como é par, sabemos que . Vamos fazer a substituição . Então, quando , e quando , . Além disso, .

Passo 3

Substituindo na integral :
Como é par, . Portanto:

Passo 4

Assim, mostramos que:
Isso confirma que é integrável em e que .

Passo 5

Agora, vamos deduzir que se , então:
Sabendo que , a integral fica:

Passo 6

Podemos dividir esta integral em duas partes:
Usando o resultado que mostramos anteriormente, temos:

Passo 7

Portanto:

Passo 8

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício. O enunciado nos pede para mostrar que se é uma função ímpar e é integrável no intervalo , então ela também é integrável em e que . Além disso, devemos deduzir que se , então .
Vamos precisar dos seguintes conceitos:
  • Função Ímpar: Uma função é ímpar se para todo no domínio de .
  • Integral Definida: Representa a área sob a curva no intervalo .

Passo 9

Primeiro, vamos mostrar que se é ímpar e integrável em , então é também integrável em .
Como é ímpar, sabemos que . Vamos fazer a substituição . Então, quando , e quando , . Além disso, .

Passo 10

Substituindo na integral :
Como é ímpar, . Portanto:

Passo 11

Assim, mostramos que:
Isso confirma que é integrável em e que .

Passo 12

Agora, vamos deduzir que se , então:
Sabendo que , a integral fica:

Passo 13

Podemos dividir esta integral em duas partes:
Usando o resultado que mostramos anteriormente, temos:

Passo 14

Portanto:

Resposta

Se é uma função ímpar e integrável em , então:

Exercícios relacionados

h)
z)
Considere as funções a seguir ( é parte inteira de ):

Elas são integráveis em ?
Sabe dizer, sem fazer contas, quanto vale a integral a seguir?