Mostre, usando a definição de integral, que:
a) Se
é uma função par e é integrável em
, então é também integrável em
e vale
. Deduza que se
então
.
b) Se
é uma função ímpar e é integrável em
, então é também integrável em
e vale
. Deduza que se
então
.
a) Se
b) Se
Passo 1
Vamos resolver a parte a) do exercício. O enunciado nos pede para mostrar, usando a definição de integral, que se
é uma função par e é integrável no intervalo
, então ela também é integrável em
e que
. Além disso, devemos deduzir que se
, então
.
Vamos precisar dos seguintes conceitos:
- Função Par: Uma função
é par se para todo no domínio de . - Integral Definida: Representa a área sob a curva
no intervalo .
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que se
é par e integrável em
, então é também integrável em
.
Como
é par, sabemos que
. Vamos fazer a substituição
. Então, quando
,
e quando
,
. Além disso,
.
Passo 3
Substituindo na integral
:
Como
é par,
. Portanto:
Passo 4
Assim, mostramos que:
Isso confirma que
é integrável em
e que
.
Passo 5
Agora, vamos deduzir que se
, então:
Sabendo que
, a integral fica:
Passo 6
Podemos dividir esta integral em duas partes:
Usando o resultado que mostramos anteriormente, temos:
Passo 7
Portanto:
Passo 8
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício. O enunciado nos pede para mostrar que se
é uma função ímpar e é integrável no intervalo
, então ela também é integrável em
e que
. Além disso, devemos deduzir que se
, então
.
Vamos precisar dos seguintes conceitos:
- Função Ímpar: Uma função
é ímpar se para todo no domínio de . - Integral Definida: Representa a área sob a curva
no intervalo .
Passo 9
Primeiro, vamos mostrar que se
é ímpar e integrável em
, então é também integrável em
.
Como
é ímpar, sabemos que
. Vamos fazer a substituição
. Então, quando
,
e quando
,
. Além disso,
.
Passo 10
Substituindo na integral
:
Como
é ímpar,
. Portanto:
Passo 11
Assim, mostramos que:
Isso confirma que
é integrável em
e que
.
Passo 12
Agora, vamos deduzir que se
, então:
Sabendo que
, a integral fica:
Passo 13
Podemos dividir esta integral em duas partes:
Usando o resultado que mostramos anteriormente, temos:
Passo 14
Portanto:
Resposta
Se
é uma função ímpar e integrável em
, então:
Exercícios relacionados
h)
z)
Considere as funções a seguir (
é parte inteira de
):
Elas são integráveis em ?
Elas são integráveis em
Sabe dizer, sem fazer contas, quanto vale a integral a seguir?