h)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A função que precisamos derivar é . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos usar algumas regrinhas de derivação, como a regra do quociente e a regra do produto, além das derivadas das funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a derivação:
Isso significa que:
Agora, vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo: .
Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar esse produto, usamos a regra do produto:
Primeiro, encontramos as derivadas individuais:
Agora, aplicamos a regra do produto:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo: .
Aqui, também temos um produto de duas funções: e . A regra do produto nos diz que:
Calculando as derivadas individuais:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Multiplicando pelo sinal negativo que estava na frente do termo original:

Passo 5

Agora, vamos juntar as derivadas dos dois termos que calculamos:
Vamos simplificar essa expressão:
Combine os termos semelhantes:
Colocando em evidência:

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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z)
t)
Mostre, usando a definição de integral, que:
a) Se é uma função par e é integrável em , então é também integrável em e vale . Deduza que se então .
b) Se é uma função ímpar e é integrável em , então é também integrável em e vale . Deduza que se então .
Considere as funções a seguir ( é parte inteira de ):

Elas são integráveis em ?