Considere as funções
e
calcule:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente calcular duas aproximações polinomiais, chamadas
e
, para a função
no ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo como derivadas parciais e polinômios de Taylor. Vamos precisar calcular as derivadas de
em relação a
e
até a segunda ordem para montar esses polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
. Eles são aproximações da função
perto de um ponto específico, no caso
. O
é o polinômio de Taylor de primeira ordem, que usa as derivadas de primeira. Já o
é de segunda ordem, incluindo as derivadas de segunda.
Passo 3
Vamos começar calculando
. A fórmula é:
Como
, simplificamos para:
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeira derivada em relação a
:
Avaliada em
:
Primeira derivada em relação a
:
Avaliada em
:
Passo 6
Substituindo esses valores na fórmula de
:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos calcular
. A fórmula é:
Como
, fica:
Passo 8
Vamos calcular agora as derivadas de segunda ordem.
Segunda derivada em relação a
:
Avaliada em
:
Segunda derivada em relação a
:
Avaliada em
:
Derivada mista
:
Como
é
, não há termos que misturam
e
. Portanto:
Avaliada em
:
Passo 9
Substituindo esses valores na fórmula de
:
Resposta
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Descreva e esboce o domínio da função real de duas ou três variáveis:
Verifique se a função
é contínua no ponto (0,0)
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Resolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja,
, para isso, determine o valor da contante
.