Considere as funções f(x, y)=x sen y e f(x, y)=x sen x+y sen y com(x0, y0)=(0,0) calcule:
p1(x, y)=f(x0, y0)+fx(x0, y0)(x-x0)+fy(x0, y0)(y-y0) e
& p2(x, y)=f(x0, y0)+fx(x0, y0)(x-x0)+fy(x0, y0)(y-y0)+ & +12!(fx x(x0, y0)(x-x0)^2+2 fx y(x0, y0)(x-x0)(y-yo)+fy y(x0, y0)(y-y0)^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente calcular duas aproximações polinomiais, chamadas e , para a função no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo como derivadas parciais e polinômios de Taylor. Vamos precisar calcular as derivadas de em relação a e até a segunda ordem para montar esses polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e . Eles são aproximações da função perto de um ponto específico, no caso . O é o polinômio de Taylor de primeira ordem, que usa as derivadas de primeira. Já o é de segunda ordem, incluindo as derivadas de segunda.

Passo 3

Vamos começar calculando p1(x, y) = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) . A fórmula é:
p1(x, y) = f(0, 0) + fx(0, 0)x + fy(0, 0)y
Como , simplificamos para:

Passo 4

Vamos calcular f(0, 0) = 0 cdot sin 0 + 0 cdot sin 0 = 0 :

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de fx(x, y) = partialpartial x(x sin x + y sin y) = sin x + x cos x em relação a fx(0, 0) = sin 0 + 0 cdot cos 0 = 0 e fy(x, y) = partialpartial y(x sin x + y sin y) = sin y + y cos y .
Primeira derivada em relação a fy(0, 0) = sin 0 + 0 cdot cos 0 = 0 :
Avaliada em :
Primeira derivada em relação a :
Avaliada em :

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula de p1(x, y) = 0 + 0 cdot x + 0 cdot y = 0 :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos calcular p2(x, y) &= p1(x, y) &+ 12! ( fxx(0, 0)x^2 + 2fxy(0, 0)xy + fyy(0, 0)y^2 ) . A fórmula é:
p2(x, y) = 12 ( fxx(0, 0)x^2 + 2fxy(0, 0)xy + fyy(0, 0)y^2 )
Como , fica:

Passo 8

Vamos calcular agora as derivadas de segunda ordem.
Segunda derivada em relação a fxx(x, y) = partialpartial x(fx) = partialpartial x(sin x + x cos x) = cos x + cos x - x sin x = 2 cos x - x sin x :
fxx(0, 0) = 2 cos 0 - 0 cdot sin 0 = 2
Avaliada em fyy(x, y) = partialpartial y(fy) = partialpartial y(sin y + y cos y) = cos y + cos y - y sin y = 2 cos y - y sin y :
fyy(0, 0) = 2 cos 0 - 0 cdot sin 0 = 2
Segunda derivada em relação a fxy(x, y) = 0 :
fxy(0, 0) = 0
Avaliada em :
Derivada mista :
Como é , não há termos que misturam e . Portanto:
Avaliada em :

Passo 9

Substituindo esses valores na fórmula de p2(x, y) = 12 ( 2x^2 + 2 cdot 0 cdot xy + 2y^2 ) = 12 (2x^2 + 2y^2) = x^2 + y^2 :

Resposta

boxedp1(x, y) = 0 e p2(x, y) = x^2 + y^2

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