Considere as funções e calcule:
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente calcular duas aproximações polinomiais, chamadas e , para a função no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo como derivadas parciais e polinômios de Taylor. Vamos precisar calcular as derivadas de em relação a e até a segunda ordem para montar esses polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e . Eles são aproximações da função perto de um ponto específico, no caso . O é o polinômio de Taylor de primeira ordem, que usa as derivadas de primeira. Já o é de segunda ordem, incluindo as derivadas de segunda.

Passo 3

Vamos começar calculando . A fórmula é:
Como , simplificamos para:

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
Primeira derivada em relação a :
Avaliada em :
Primeira derivada em relação a :
Avaliada em :

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula de :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos calcular . A fórmula é:
Como , fica:

Passo 8

Vamos calcular agora as derivadas de segunda ordem.
Segunda derivada em relação a :
Avaliada em :
Segunda derivada em relação a :
Avaliada em :
Derivada mista :
Como é , não há termos que misturam e . Portanto:
Avaliada em :

Passo 9

Substituindo esses valores na fórmula de :

Resposta

Exercícios relacionados

Descreva e esboce o domínio da função real de duas ou três variáveis:
Verifique se a função é contínua no ponto (0,0)
Descreva e esboce o domínio da função real de duas ou três variáveis:
Resolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja, , para isso, determine o valor da contante .