Resolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja,
, para isso, determine o valor da contante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de equações diferenciais que envolve condições de contorno. O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Nosso objetivo é encontrar valores da constante
que permitam soluções não triviais (ou seja,
) que satisfaçam as condições de contorno:
Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas e condições de contorno. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial geral:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução depende do valor de
.
A solução geral dessa equação pode ser escrita de diferentes formas dependendo do sinal de
:
-
Se
: A solução é: -
Se
: A solução é: -
Se
: Vamos chamar, onde . A solução é:
Como estamos procurando soluções não triviais e queremos que elas satisfaçam as condições de contorno, vamos focar no caso
. Isso porque, para
ou
, as soluções não atenderão às condições de contorno de forma não trivial.
Então, assumindo
, nossa solução é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para determinar
e
, e encontrar os valores de
que permitem soluções não triviais.
Primeiro, aplique
.
Calculando
:
Calculando
:
Então,
A condição
fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a segunda condição de contorno
.
Substituindo
na solução geral:
Sabemos que
, então substituímos na equação acima:
Fatorando
(que não é zero, já que queremos soluções não triviais):
Então:
Passo 5
Agora, temos a equação transcendental para encontrar
:
Podemos reescrever essa equação dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Essa equação não tem solução analítica simples, então precisamos encontrar os valores de
numericamente.
Passo 6
Para achar os valores de
que satisfazem
, podemos usar métodos numéricos ou gráficos. Observando o comportamento das funções
e
, notamos que existem infinitos valores de
que satisfazem essa equação, correspondendo aos pontos de interseção das duas funções.
Porém, como o exercício pede para determinar o valor da constante
, vamos identificar o primeiro valor positivo onde isso ocorre, que dá a solução mais simples não trivial.
Usando métodos aproximados ou uma calculadora, encontramos que o primeiro valor de
que satisfaz
é aproximadamente:
Resposta
O valor da constante
que permite uma solução não trivial é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Descreva e esboce o domínio da função real de duas ou três variáveis:
Considere as funções
e
calcule:
e
Dada a função
, resolva o sistema
e considere a solução
para calcular
determinante da matriz
Resolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja,
, para isso, determine o valor da contante
.