Resolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja, , para isso, determine o valor da contante .


Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de equações diferenciais que envolve condições de contorno. O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Nosso objetivo é encontrar valores da constante que permitam soluções não triviais (ou seja, ) que satisfaçam as condições de contorno:
Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas e condições de contorno. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial geral:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução depende do valor de .
A solução geral dessa equação pode ser escrita de diferentes formas dependendo do sinal de :
  • Se :
    A solução é:
  • Se :
    A solução é:
  • Se :
    Vamos chamar , onde . A solução é:
Como estamos procurando soluções não triviais e queremos que elas satisfaçam as condições de contorno, vamos focar no caso . Isso porque, para ou , as soluções não atenderão às condições de contorno de forma não trivial.
Então, assumindo , nossa solução é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para determinar e , e encontrar os valores de que permitem soluções não triviais.
Primeiro, aplique .
Calculando :
Calculando :
Então,
A condição fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a segunda condição de contorno .
Substituindo na solução geral:
Sabemos que , então substituímos na equação acima:
Fatorando (que não é zero, já que queremos soluções não triviais):
Então:

Passo 5

Agora, temos a equação transcendental para encontrar :
Podemos reescrever essa equação dividindo ambos os lados por (desde que ):
Essa equação não tem solução analítica simples, então precisamos encontrar os valores de numericamente.

Passo 6

Para achar os valores de que satisfazem , podemos usar métodos numéricos ou gráficos. Observando o comportamento das funções e , notamos que existem infinitos valores de que satisfazem essa equação, correspondendo aos pontos de interseção das duas funções.
Porém, como o exercício pede para determinar o valor da constante , vamos identificar o primeiro valor positivo onde isso ocorre, que dá a solução mais simples não trivial.
Usando métodos aproximados ou uma calculadora, encontramos que o primeiro valor de que satisfaz é aproximadamente:

Resposta

O valor da constante que permite uma solução não trivial é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Descreva e esboce o domínio da função real de duas ou três variáveis:
Considere as funções e calcule:
e
Dada a função , resolva o sistema e considere a solução para calcular determinante da matriz
Resolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja, , para isso, determine o valor da contante .