Verifique se a função
é contínua no ponto (0,0)
Passo 1
Vamos analisar a função
definida por
Queremos verificar se essa função é contínua no ponto
. Para isso, precisamos usar o conceito de continuidade de funções de duas variáveis e calcular o limite de
quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos que:
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Para isso, podemos usar diferentes caminhos para nos aproximarmos de
e verificar se o limite é o mesmo em todos eles.
Primeiro, consideremos o caminho onde
, onde
é uma constante. Substituindo
na função:
À medida que
se aproxima de 0, o valor de
se aproxima de
. Perceba que esse valor depende de
, o que significa que o limite pode variar dependendo do caminho escolhido.
Passo 4
Como o limite depende do valor de
, isso indica que o limite de
quando
se aproxima de
não é único. Por exemplo:
- Se
, o limite é 0. - Se
, o limite é . - Se
, o limite é .
Como obtemos valores diferentes dependendo do caminho seguido, o limite não existe de forma única.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
, pois o limite
não existe de forma única.
Exercícios relacionados
A temperatura em um ponto
de uma placa de metal é
graus, onde
. Trace as isotermas para
e
.
Esboce o gráfico de uma função
para a qual
,
, e
.
Descreva e esboce o domínio da função real de duas ou três variáveis:
Considere as funções
e
calcule:
e