Verifique se a função f(x, y) = { 2 x^2 y / (x^4 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) } é contínua no ponto (0,0)

Passo 1

Vamos analisar a função definida por
Queremos verificar se essa função é contínua no ponto . Para isso, precisamos usar o conceito de continuidade de funções de duas variáveis e calcular o limite de quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos que:

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Para isso, podemos usar diferentes caminhos para nos aproximarmos de e verificar se o limite é o mesmo em todos eles.
Primeiro, consideremos o caminho onde , onde é uma constante. Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, o valor de se aproxima de . Perceba que esse valor depende de , o que significa que o limite pode variar dependendo do caminho escolhido.

Passo 4

Como o limite depende do valor de , isso indica que o limite de quando se aproxima de não é único. Por exemplo:
  • Se , o limite é 0.
  • Se , o limite é .
  • Se , o limite é .
Como obtemos valores diferentes dependendo do caminho seguido, o limite não existe de forma única.

Resposta

A função não é contínua no ponto , pois o limite não existe de forma única.

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