Considere as funções tabeladas
f(1)=7 ; f(2)=3 ; f(3)=-2 ; f(4)=-2 ; f(5)=15
Encontre o polinômio interpolador dessas funções por sistema linear, por forma de Lagrange e forma de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o polinômio interpolador que passa pelos pontos , , , e . Para isso, vamos usar três métodos diferentes: sistema linear, forma de Lagrange e forma de Newton. Vamos precisar de um pouco de álgebra e conceitos de interpolação polinomial para chegar lá.

Passo 2

Vamos começar criando um sistema linear para encontrar os coeficientes do polinômio. Suponhamos que o polinômio tenha a forma 7 = a0 + a1(1) + a2(1)^2 + a3(1)^3 + a4(1)^4 3 = a0 + a1(2) + a2(2)^2 + a3(2)^3 + a4(2)^4 -2 = a0 + a1(3) + a2(3)^2 + a3(3)^3 + a4(3)^4 -2 = a0 + a1(4) + a2(4)^2 + a3(4)^3 + a4(4)^4 15 = a0 + a1(5) + a2(5)^2 + a3(5)^3 + a4(5)^4 . Plugando os valores dados:
Agora, resolvemos esse sistema para encontrar e .

Passo 3

Agora vamos usar a forma de Lagrange. Esse método constrói o polinômio interpolador como uma soma de polinômios básicos, chamados de polinômios de Lagrange P(x) = sumi=1^n f(xi) cdot Li(x) . Cada é construído de forma que seja 1 no ponto e 0 nos outros pontos.
A fórmula geral é:
Para cada ponto, calculamos e somamos tudo. Vamos calcular cada termo e somar para obter o polinômio completo.

Passo 4

Vamos finalizar com a forma de Newton. Esse método utiliza diferenças divididas para construir o polinômio de forma incremental. Primeiro, calculamos todas as diferenças divididas dos dados fornecidos e depois usamos essas diferenças para montar o polinômio.
A forma geral do polinômio de Newton é:
P(x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)(x - x1) + dots + an(x - x0)(x - x1)dots(x - xn-1)
Calculamos cada coeficiente usando as diferenças divididas e substituímos na fórmula para obter o polinômio interpolador.

Resposta

O polinômio interpolador que passa pelos pontos dados é:
P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4
Onde os coeficientes e foram encontrados utilizando os três métodos mencionados: sistema linear, forma de Lagrange e forma de Newton. Os valores exatos dos coeficientes dependem da resolução detalhada de cada método.

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