Considere as funções tabeladas
Encontre o polinômio interpolador dessas funções por sistema linear, por forma de Lagrange e forma de Newton.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o polinômio interpolador que passa pelos pontos , , , e . Para isso, vamos usar três métodos diferentes: sistema linear, forma de Lagrange e forma de Newton. Vamos precisar de um pouco de álgebra e conceitos de interpolação polinomial para chegar lá.
Passo 2
Vamos começar criando um sistema linear para encontrar os coeficientes do polinômio. Suponhamos que o polinômio tenha a forma . Plugando os valores dados:
Agora, resolvemos esse sistema para encontrar e .
Passo 3
Agora vamos usar a forma de Lagrange. Esse método constrói o polinômio interpolador como uma soma de polinômios básicos, chamados de polinômios de Lagrange P(x) = sumi=1^n f(xi) cdot Li(x) . Cada é construído de forma que seja 1 no ponto e 0 nos outros pontos.
A fórmula geral é:
Para cada ponto, calculamos e somamos tudo. Vamos calcular cada termo e somar para obter o polinômio completo.
Passo 4
Vamos finalizar com a forma de Newton. Esse método utiliza diferenças divididas para construir o polinômio de forma incremental. Primeiro, calculamos todas as diferenças divididas dos dados fornecidos e depois usamos essas diferenças para montar o polinômio.
Calculamos cada coeficiente usando as diferenças divididas e substituímos na fórmula para obter o polinômio interpolador.
Resposta
O polinômio interpolador que passa pelos pontos dados é:
P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4
Onde os coeficientes e foram encontrados utilizando os três métodos mencionados: sistema linear, forma de Lagrange e forma de Newton. Os valores exatos dos coeficientes dependem da resolução detalhada de cada método.