Encontre o zero da função usando o método de Newton, a partir do ponto inicial x0. Use |f(xn)|, como critério de parada.
f(x)=x+ln (x), x0=12, x1=1, varepsilon=10^-10

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o zero da função usando o Método de Newton. Isso significa que queremos encontrar o valor de que faz com que . Para isso, começaremos com um ponto inicial e vamos iterar até que a condição seja satisfeita. Vamos precisar conhecer a fórmula do Método de Newton e calcular a derivada da função.

Passo 2

O Método de Newton é uma técnica para aproximar raízes de funções. A fórmula principal é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • é a aproximação atual.
  • é o valor da função na aproximação atual.
  • é a derivada da função na aproximação atual.
  • é a próxima aproximação.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de .

Passo 3

Calculando a derivada de f(x) = x + ln(x) :
f'(x) = 1 + 1x
Agora, vamos iniciar as iterações do Método de Newton.

Passo 4

Iteração 0: f(12) = 12 + ln(12) approx 0,5 - 0,693147 approx -0,193147
Calculando f'(12) = 1 + 112 = 1 + 2 = 3 :
x1 = 12 - -0,1931473 approx 0,5 + 0,064383 approx 0,564383
Calculando :
Aplicando a fórmula de Newton:

Passo 5

Iteração 1: f(0,564383) = 0,564383 + ln(0,564383) approx 0,564383 - 0,572396 approx -0,008013
Calculando f'(0,564383) = 1 + 10,564383 approx 1 + 1,773 approx 2,773 :
x2 = 0,564383 - -0,0080132,773 approx 0,564383 + 0,00289 approx 0,567273
Calculando :
Aplicando a fórmula de Newton:

Passo 6

Iteração 2: f(0,567273) = 0,567273 + ln(0,567273) approx 0,567273 - 0,5685 approx -0,001227
Calculando f'(0,567273) = 1 + 10,567273 approx 1 + 1,764 approx 2,764 :
x3 = 0,567273 - -0,0012272,764 approx 0,567273 + 0,000444 approx 0,567717
Calculando :
Aplicando a fórmula de Newton:

Passo 7

Iteração 3: f(0,567717) = 0,567717 + ln(0,567717) approx 0,567717 - 0,567717 approx 0
Calculando :
Aqui, vemos que , então podemos parar as iterações.

Resposta

O zero da função x approx 0,567717 encontrado pelo Método de Newton, com e critério de parada , é aproximadamente:

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