Encontre o zero da função usando o método de Newton, a partir do ponto inicial . Use , como critério de parada.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o zero da função usando o Método de Newton. Isso significa que queremos encontrar o valor de que faz com que . Para isso, começaremos com um ponto inicial e vamos iterar até que a condição seja satisfeita. Vamos precisar conhecer a fórmula do Método de Newton e calcular a derivada da função.

Passo 2

O Método de Newton é uma técnica para aproximar raízes de funções. A fórmula principal é:
Onde:
  • é a aproximação atual.
  • é o valor da função na aproximação atual.
  • é a derivada da função na aproximação atual.
  • é a próxima aproximação.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de .

Passo 3

Calculando a derivada de :
Agora, vamos iniciar as iterações do Método de Newton.

Passo 4

Iteração 0:
Calculando :
Calculando :
Aplicando a fórmula de Newton:

Passo 5

Iteração 1:
Calculando :
Calculando :
Aplicando a fórmula de Newton:

Passo 6

Iteração 2:
Calculando :
Calculando :
Aplicando a fórmula de Newton:

Passo 7

Iteração 3:
Calculando :
Aqui, vemos que , então podemos parar as iterações.

Resposta

O zero da função encontrado pelo Método de Newton, com e critério de parada , é aproximadamente:

Exercícios relacionados

Encontre o zero da função usando o método da bisseção, a partir do intervalo inicial . Use , para critério de parada.
Encontre o zero da função usando o método da bisseção, a partir do intervalo inicial . Use , para critério de parada.
Encontre o zero da função usando o método do ponto fixo indicado, a partir do ponto inicial . Use , como critério de parada, com no máximo 20 iterações. Em caso de aparente divergência, justifique o ocorrido.
Considere as funções tabeladas

Encontre o polinômio interpolador dessas funções por sistema linear, por forma de Lagrange e forma de Newton.