Encontre o zero da função usando o método do ponto fixo indicado, a partir do ponto inicial x0. Use |f(xn)|, como critério de parada, com no máximo 20 iterações. Em caso de aparente divergência, justifique o ocorrido.
f(x)=x e^x-5, phi(x)=ln (5)-ln (x), x0=1, varepsilon=10^-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o zero da função usando o método do ponto fixo. O que isso significa? Simplesmente, vamos iterar uma função auxiliar partindo de um ponto inicial até que seja menor que ou até completar 20 iterações. Se a gente notar que os valores estão “divergindo”, ou seja, se afastando cada vez mais, vamos precisar justificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método do ponto fixo. Ele funciona assim: escolhemos uma função tal que a solução que queremos encontrar satisfaça . Então, começamos com um valor inicial e aplicamos a função repetidamente para obter até que a condição de parada seja atendida.

Passo 3

Vamos começar a primeira iteração. Nosso ponto inicial é .
Calculando .
Agora, verificamos .
Sabemos que , então .
Como , precisamos continuar.

Passo 4

Segunda iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda não atingimos a precisão desejada, pois .

Passo 5

Terceira iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda não estamos dentro do critério, pois .

Passo 6

Quarta iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda não alcançamos a precisão, .

Passo 7

Quinta iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda acima do nosso critério, .

Passo 8

Sexta iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda não atendemos o critério, .

Passo 9

Sétima iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda acima do limite, .

Passo 10

Oitava iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda não estamos dentro do critério, .

Passo 11

Nona iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda acima do limite, .

Passo 12

Décima iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda não dentro do critério, .

Passo 13

Décima primeira iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda acima do limite, .

Passo 14

Décima segunda iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda não atingimos a precisão, .

Passo 15

Décima terceira iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda acima do critério, .

Passo 16

Décima quarta iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda não estamos dentro do critério, .

Passo 17

Décima quinta iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda acima do limite, .

Passo 18

Décima sexta iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda não atingimos a precisão, .

Passo 19

Décima sétima iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda acima do critério, .

Passo 20

Décima oitava iteração:
.
Calculando .
, então .
Ainda não dentro do critério, .

Passo 21

Décima nona iteração:
.
Calculando .
, então .
Agora, , então atingimos o critério de parada.

Resposta

O zero da função encontrado pelo método do ponto fixo é aproximadamente .

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