Encontre o zero da função usando o método do ponto fixo indicado, a partir do ponto inicial
. Use
, como critério de parada, com no máximo 20 iterações. Em caso de aparente divergência, justifique o ocorrido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o zero da função
usando o método do ponto fixo. O que isso significa? Simplesmente, vamos iterar uma função auxiliar
partindo de um ponto inicial
até que
seja menor que
ou até completar 20 iterações. Se a gente notar que os valores estão “divergindo”, ou seja, se afastando cada vez mais, vamos precisar justificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método do ponto fixo. Ele funciona assim: escolhemos uma função
tal que a solução
que queremos encontrar satisfaça
. Então, começamos com um valor inicial
e aplicamos a função
repetidamente para obter
até que a condição de parada seja atendida.
Passo 3
Vamos começar a primeira iteração. Nosso ponto inicial é
.
Calculando
.
Agora, verificamos
.
Sabemos que
, então
.
Como
, precisamos continuar.
Passo 4
Segunda iteração:
Calculando
.
Ainda não atingimos a precisão desejada, pois
.
Passo 5
Terceira iteração:
Calculando
.
Ainda não estamos dentro do critério, pois
.
Passo 6
Quarta iteração:
Calculando
.
Ainda não alcançamos a precisão,
.
Passo 7
Quinta iteração:
Calculando
.
Ainda acima do nosso critério,
.
Passo 8
Sexta iteração:
Calculando
.
Ainda não atendemos o critério,
.
Passo 9
Sétima iteração:
Calculando
.
Ainda acima do limite,
.
Passo 10
Oitava iteração:
Calculando
.
Ainda não estamos dentro do critério,
.
Passo 11
Nona iteração:
Calculando
.
Ainda acima do limite,
.
Passo 12
Décima iteração:
Calculando
.
Ainda não dentro do critério,
.
Passo 13
Décima primeira iteração:
Calculando
.
Ainda acima do limite,
.
Passo 14
Décima segunda iteração:
Calculando
.
Ainda não atingimos a precisão,
.
Passo 15
Décima terceira iteração:
Calculando
.
Ainda acima do critério,
.
Passo 16
Décima quarta iteração:
Calculando
.
Ainda não estamos dentro do critério,
.
Passo 17
Décima quinta iteração:
Calculando
.
Ainda acima do limite,
.
Passo 18
Décima sexta iteração:
Calculando
.
Ainda não atingimos a precisão,
.
Passo 19
Décima sétima iteração:
Calculando
.
Ainda acima do critério,
.
Passo 20
Décima oitava iteração:
Calculando
.
Ainda não dentro do critério,
.
Passo 21
Décima nona iteração:
Calculando
.
Agora,
, então atingimos o critério de parada.
Resposta
O zero da função
encontrado pelo método do ponto fixo é aproximadamente
.