Considere as funções vetoriais f do R^3, para cada função vetorial abaixo calcule o valor do limite quando t t0 :
a) f(t)=(3 t+7) i+sen tt j+t^3t-t^2 k, t0=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o limite, quando f(t) = (3t + 7), i + sin tt, j + t^3t - t^2, k se aproxima de , de uma função vetorial no espaço tridimensional. A função é dada por:
Vamos precisar usar conceitos de limites para funções escalares e vetoriais, além de manipular frações e aplicar limites básicos.

Passo 2

Vamos calcular o limite de cada componente da função vetorial separadamente. Uma função vetorial é basicamente um conjunto de funções escalares para cada direção do espaço (nesse caso, limt to 0 (3t + 7) , 3(0) + 7 = 7 , e ).
Primeiro, vamos olhar para a componente :
Isso é simples, porque é uma função polinomial. Substituímos :

Passo 3

Agora, vamos para a componente limt to 0 sin tt :
limt to 0 sin tt = 1
Esse é um limite clássico em cálculo. Sabemos que:
Então, essa componente tende a 1 quando se aproxima de 0.

Passo 4

Por último, vamos calcular a componente limt to 0 t^3t - t^2 :
t - t^2 = t(1 - t)
Primeiro, vamos simplificar o denominador:
t^3t(1 - t) = t^21 - t
Então, a expressão fica:
limt to 0 t^21 - t = 0^21 - 0 = 0
Agora, calculamos o limite:

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial limt to 0 f(t) = 7, i + 1, j + 0, k quando limt to 0 f(t) = 7, i + j tende a 0 é:
Ou simplesmente:

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