Considere as funções vetoriais
do
, para cada função vetorial abaixo calcule o valor do limite quando
:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o limite, quando
se aproxima de
, de uma função vetorial
no espaço tridimensional. A função é dada por:
Vamos precisar usar conceitos de limites para funções escalares e vetoriais, além de manipular frações e aplicar limites básicos.
Passo 2
Vamos calcular o limite de cada componente da função vetorial separadamente. Uma função vetorial é basicamente um conjunto de funções escalares para cada direção do espaço (nesse caso,
,
, e
).
Primeiro, vamos olhar para a componente
:
Isso é simples, porque é uma função polinomial. Substituímos
:
Passo 3
Agora, vamos para a componente
:
Esse é um limite clássico em cálculo. Sabemos que:
Então, essa componente tende a 1 quando
se aproxima de 0.
Passo 4
Por último, vamos calcular a componente
:
Primeiro, vamos simplificar o denominador:
Então, a expressão fica:
Agora, calculamos o limite:
Resposta
Portanto, o limite da função vetorial
quando
tende a 0 é:
Ou simplesmente: