Determinar onde são crescentes ou decrescentes as funções abaixo
h(x) = x + sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo. Isso faz parte do estudo de funções derivadas em cálculo, que nos ajuda a entender o comportamento das funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar os sinais dessa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função estar crescendo ou diminuindo. Se a derivada de uma função for positiva em um intervalo, isso significa que a função está crescendo nesse intervalo. Se a derivada for negativa, a função está diminuindo.

Passo 3

Então, vamos calcular a derivada da função . A derivada de é:

Passo 4

Agora que temos a derivada , precisamos analisar onde essa derivada é positiva e onde é negativa.

Passo 5

Sabemos que o cosseno de , , varia entre -1 e 1 para todos os valores de . Então, vai variar entre e :

Passo 6

Isso significa que nunca será negativa, já que o menor valor que pode assumir é 0. Portanto, a função está sempre crescendo ou, no mínimo, constante.

Passo 7

No caso específico onde , temos:
Isso acontece quando , onde é qualquer número inteiro. Nessas pontas, a função tem uma “achatada”, mas isso não muda o fato de que a função está crescendo nos intervalos entre esses pontos.

Resposta

A função está sempre crescente para todo real, já que sua derivada é sempre maior ou igual a zero.

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