Determinar onde são crescentes ou decrescentes as funções abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir onde a função
está crescendo ou diminuindo. Isso faz parte do estudo de funções derivadas em cálculo, que nos ajuda a entender o comportamento das funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar os sinais dessa derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função estar crescendo ou diminuindo. Se a derivada de uma função for positiva em um intervalo, isso significa que a função está crescendo nesse intervalo. Se a derivada for negativa, a função está diminuindo.
Passo 3
Então, vamos calcular a derivada da função
. A derivada de
é:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, precisamos analisar onde essa derivada é positiva e onde é negativa.
Passo 5
Sabemos que o cosseno de
,
, varia entre -1 e 1 para todos os valores de
. Então,
vai variar entre
e
:
Passo 6
Isso significa que
nunca será negativa, já que o menor valor que
pode assumir é 0. Portanto, a função
está sempre crescendo ou, no mínimo, constante.
Passo 7
No caso específico onde
, temos:
Isso acontece quando
, onde
é qualquer número inteiro. Nessas pontas, a função tem uma “achatada”, mas isso não muda o fato de que a função está crescendo nos intervalos entre esses pontos.
Resposta
A função
está sempre crescente para todo
real, já que sua derivada
é sempre maior ou igual a zero.