Considere as funções vetoriais
Calcule
Passo 1
Beleza! A gente tem duas funções vetoriais aqui:
E o que a gente precisa fazer é calcular o produto interno (ou ponto) das derivadas dessas duas funções, ou seja, encontrar
. A matéria envolvida aqui é cálculo de derivadas de funções vetoriais e produto interno de vetores. Vamos precisar saber como derivar cada componente das funções e depois como fazer o produto interno delas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função
. Lembra que para derivar uma função vetorial, a gente deriva cada componente individualmente.
A função
tem três componentes:
Vamos derivar cada uma:
- A derivada de
em relação a é . Aqui usamos a regra da cadeia. - A derivada de
é simplesmente , já que a derivada de é 1 e a derivada de uma constante é 0. - A derivada de
é .
Então, a derivada
é:
Passo 3
Agora, vamos derivar a função
. Igualzinho, vamos derivar cada componente:
A função
também tem três componentes:
Derivando cada uma:
- A derivada de
é . Usamos a regra do poder para e a derivada de é 1. - A derivada de é
. Aqui usamos a regra da cadeia. - A derivada de
é .
Então, a derivada
é:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos calcular o produto interno deles. O produto interno de dois vetores é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
Ou seja,
Vamos fazer as multiplicações:
Somando tudo:
Resposta
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
e
;
Determine se a função
é contínua em
. Justifique.
Dados os vetores
e
. Calcule o ângulo entre os vetores
e
.