Considere as funções vetoriais
Calcule

Passo 1

Beleza! A gente tem duas funções vetoriais aqui:
E o que a gente precisa fazer é calcular o produto interno (ou ponto) das derivadas dessas duas funções, ou seja, encontrar . A matéria envolvida aqui é cálculo de derivadas de funções vetoriais e produto interno de vetores. Vamos precisar saber como derivar cada componente das funções e depois como fazer o produto interno delas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função . Lembra que para derivar uma função vetorial, a gente deriva cada componente individualmente.
A função tem três componentes:
Vamos derivar cada uma:
  1. A derivada de em relação a é . Aqui usamos a regra da cadeia.
  2. A derivada de é simplesmente , já que a derivada de é 1 e a derivada de uma constante é 0.
  3. A derivada de é .
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos derivar a função . Igualzinho, vamos derivar cada componente:
A função também tem três componentes:
Derivando cada uma:
  1. A derivada de é . Usamos a regra do poder para e a derivada de é 1.
  2. A derivada de é . Aqui usamos a regra da cadeia.
  3. A derivada de é .
Então, a derivada é:

Passo 4

Agora que temos e , vamos calcular o produto interno deles. O produto interno de dois vetores é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
Ou seja,
Vamos fazer as multiplicações:
Somando tudo:

Resposta

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Dados os vetores e . Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores e ;
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: . Determine o maior conjunto onde cada uma das funções acima é contínua.
Determine se a função
é contínua em . Justifique.
Dados os vetores e . Calcule o ângulo entre os vetores e .