Considere as funções vetoriais
u(t)=lang<= e^3 t, t-2, cos (t)rang<= e v(t)=lang<= t^2-t, sen(2 t), e^trang<=
Calcule u^prime(t) cdot v^prime(t)

Passo 1

Beleza! A gente tem duas funções vetoriais aqui:
E o que a gente precisa fazer é calcular o produto interno (ou ponto) das derivadas dessas duas funções, ou seja, encontrar u(t)=lang<= e^3 t, t-2, cos (t)rang<= e v(t)=lang<= t^2-t, sen(2 t), e^trang<= . A matéria envolvida aqui é cálculo de derivadas de funções vetoriais e produto interno de vetores. Vamos precisar saber como derivar cada componente das funções e depois como fazer o produto interno delas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função u^prime(t) = lang<= 3e^3t, 1, -sen(t) rang<= . Lembra que para derivar uma função vetorial, a gente deriva cada componente individualmente.
A função tem três componentes:
Vamos derivar cada uma:
  1. A derivada de em relação a é . Aqui usamos a regra da cadeia.
  2. A derivada de é simplesmente , já que a derivada de é 1 e a derivada de uma constante é 0.
  3. A derivada de é .
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos derivar a função v^prime(t) = lang<= 2t - 1, 2cos(2t), e^t rang<= . Igualzinho, vamos derivar cada componente:
A função também tem três componentes:
Derivando cada uma:
  1. A derivada de é . Usamos a regra do poder para e a derivada de é 1.
  2. A derivada de é . Aqui usamos a regra da cadeia.
  3. A derivada de é .
Então, a derivada é:

Passo 4

Agora que temos u^prime(t) cdot v^prime(t) = (3e^3t)(2t - 1) + (1)(2cos(2t)) + (-sen(t))(e^t) e u^prime(t) cdot v^prime(t) = 6t e^3t - 3e^3t + 2cos(2t) - e^t sen(t) , vamos calcular o produto interno deles. O produto interno de dois vetores é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
Ou seja,
Vamos fazer as multiplicações:
Somando tudo:

Resposta

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