Determine se a função
é contínua em
. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
definida de duas maneiras diferentes dependendo dos valores de
e
. O enunciado quer saber se essa função é contínua no ponto
.
Conteúdo que vamos usar:
- Continuidade de funções de várias variáveis: para uma função ser contínua num ponto, o limite dela nesse ponto tem que ser igual ao valor da função no ponto.
- Cálculo de limites: vamos precisar calcular o limite da função quando
se aproxima de .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor da função no ponto
. Para isso, calculamos
:
Como
, segundo a definição da função, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Para isso, consideramos duas situações:
- Quando
: A função é . - Quando
: A função é 0.
Vamos analisar o limite para cada caso.
Passo 4
Caso 1:
Aqui, observamos que
está se aproximando de 1 a partir de valores menores que 1. Então,
é uma quantidade negativa e está se aproximando de 0. Portanto, temos:
Assim,
Caso 2:
Aqui, a função já é 0, então o limite é claramente 0.
Passo 5
Juntando os dois casos, independentemente de como
se aproxima do ponto
, o limite da função
é 0.
Passo 6
Finalmente, comparamos o limite com o valor da função no ponto:
Resposta
A fun��ão
é contínua no ponto
porque o limite da função nesse ponto é igual ao valor da função no ponto.
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Considere as funções vetoriais
Calcule
Dados os vetores
e
. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
e
;
Dados os vetores
e
. Calcule o ângulo entre os vetores
e
.
Mostre como encontrar a soluções geral das equações diferenciais abaixo.