Determine se a função
f(x, y) = { e^(1/(x^2 + y^2 - 1)), se x^2 + y^2 < 1; 0, se x^2 + y^2 ≥ 1 }
é contínua em (raiz(2)/2, raiz(2)/2). Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes dependendo dos valores de e . O enunciado quer saber se essa função é contínua no ponto .
Conteúdo que vamos usar:
  • Continuidade de funções de várias variáveis: para uma função ser contínua num ponto, o limite dela nesse ponto tem que ser igual ao valor da função no ponto.
  • Cálculo de limites: vamos precisar calcular o limite da função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor da função no ponto . Para isso, calculamos :
Como , segundo a definição da função, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Para isso, consideramos duas situações:
  1. Quando : A função é .
  2. Quando : A função é 0.
Vamos analisar o limite para cada caso.

Passo 4

Caso 1:
Aqui, observamos que está se aproximando de 1 a partir de valores menores que 1. Então, é uma quantidade negativa e está se aproximando de 0. Portanto, temos:
Assim,
Caso 2:
Aqui, a função já é 0, então o limite é claramente 0.

Passo 5

Juntando os dois casos, independentemente de como se aproxima do ponto , o limite da função é 0.

Passo 6

Finalmente, comparamos o limite com o valor da função no ponto:

Resposta

A fun��ão é contínua no ponto porque o limite da função nesse ponto é igual ao valor da função no ponto.

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