(2,0) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: lim (x, y, z) ( pm x0, pm x0, 0) x^8 z-y^8 zx^4 z^2-y^4 z^2. Determine o maior conjunto onde cada uma das funções acima é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . Além disso, precisamos determinar o maior conjunto onde cada uma das funções envolvidas é contínua. Vamos usar conceitos de limites multivariáveis e continuidade de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para facilitar o cálculo do limite. Observe que tanto o numerador quanto o denominador têm termos em comum que podemos fatorar.
Numerador:
x^8 z - y^8 z = z(x^8 - y^8) = z(x^4 - y^4)(x^4 + y^4)
Denominador:
x^4 z^2 - y^4 z^2 = z^2(x^4 - y^4) = z^2(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)
Então, a função fica:
z(x^4 + y^4)z^2(x^2 + y^2) = x^4 + y^4z(x^2 + y^2)

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa nova expressão quando x^4 + y^4 se aproxima de z(x^2 + y^2).
Note que está no denominador e está se aproximando de 0. Isso sugere que o valor da função pode crescer sem limites, a menos que o numerador também se aproxime de 0 de forma a compensar.
Vamos examinar o numerador:
Quando e se aproximam de , se aproxima de , que é um número finito e diferente de zero.
No denominador, temos:
Como está se aproximando de 0 e se aproxima de , o denominador está se aproximando de 0.

Passo 4

Então, a expressão está se comportando como quando se aproxima de . Isso indica que o limite tende ao infinito ou , dependendo da direção de .
Como o limite tende a valores infinitos e não a um número real específico, podemos concluir que o limite não existe.

Passo 5

Agora, vamos determinar o maior conjunto onde cada uma das funções é contínua.
Para a função original:
x^8 z - y^8 zx^4 z^2 - y^4 z^2
A função é contínua onde o denominador não é zero. Portanto, precisamos evitar os pontos onde:
x^4 z^2 - y^4 z^2 = z^2(x^4 - y^4) = 0
Isso ocorre quando:
  1. (x, y, z) in R^3 setminus z = 0 ou x = pm y ou
Então, o maior conjunto onde a função é contínua é:

Resposta

O limite não existe. O maior conjunto onde a função é contínua é todo exceto onde ou .

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