Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
. Determine o maior conjunto onde cada uma das funções acima é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Além disso, precisamos determinar o maior conjunto onde cada uma das funções envolvidas é contínua. Vamos usar conceitos de limites multivariáveis e continuidade de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para facilitar o cálculo do limite. Observe que tanto o numerador quanto o denominador têm termos em comum que podemos fatorar.
Numerador:
Denominador:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa nova expressão quando
se aproxima de
.
Note que
está no denominador e está se aproximando de 0. Isso sugere que o valor da função pode crescer sem limites, a menos que o numerador também se aproxime de 0 de forma a compensar.
Vamos examinar o numerador:
Quando
e
se aproximam de
,
se aproxima de
, que é um número finito e diferente de zero.
No denominador, temos:
Como
está se aproximando de 0 e
se aproxima de
, o denominador está se aproximando de 0.
Passo 4
Então, a expressão
está se comportando como
quando
se aproxima de
. Isso indica que o limite tende ao infinito ou
, dependendo da direção de
.
Como o limite tende a valores infinitos e não a um número real específico, podemos concluir que o limite não existe.
Passo 5
Agora, vamos determinar o maior conjunto onde cada uma das funções é contínua.
Para a função original:
A função é contínua onde o denominador não é zero. Portanto, precisamos evitar os pontos onde:
Isso ocorre quando:
-
ou -
Então, o maior conjunto onde a função é contínua é:
Resposta
O limite não existe. O maior conjunto onde a função é contínua é todo
exceto onde
ou
.
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.
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? Justifique:
(a)
(a)
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e
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e
;
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Calcule