Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: . Determine o maior conjunto onde cada uma das funções acima é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . Além disso, precisamos determinar o maior conjunto onde cada uma das funções envolvidas é contínua. Vamos usar conceitos de limites multivariáveis e continuidade de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para facilitar o cálculo do limite. Observe que tanto o numerador quanto o denominador têm termos em comum que podemos fatorar.
Numerador:
Denominador:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa nova expressão quando se aproxima de .
Note que está no denominador e está se aproximando de 0. Isso sugere que o valor da função pode crescer sem limites, a menos que o numerador também se aproxime de 0 de forma a compensar.
Vamos examinar o numerador:
Quando e se aproximam de , se aproxima de , que é um número finito e diferente de zero.
No denominador, temos:
Como está se aproximando de 0 e se aproxima de , o denominador está se aproximando de 0.

Passo 4

Então, a expressão está se comportando como quando se aproxima de . Isso indica que o limite tende ao infinito ou , dependendo da direção de .
Como o limite tende a valores infinitos e não a um número real específico, podemos concluir que o limite não existe.

Passo 5

Agora, vamos determinar o maior conjunto onde cada uma das funções é contínua.
Para a função original:
A função é contínua onde o denominador não é zero. Portanto, precisamos evitar os pontos onde:
Isso ocorre quando:
  1. ou
Então, o maior conjunto onde a função é contínua é:

Resposta

O limite não existe. O maior conjunto onde a função é contínua é todo exceto onde ou .

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