Seja f(x, y)=x yx^2+y^2
b) Calcule lim t 0 f(de, onde de.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função quando substituímos e por funções de , que são . O conteúdo aqui é cálculo de limites de funções de várias variáveis. Vamos precisar saber como substituir as variáveis e simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores de f(de e na função usando . Isso significa que e . Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, calculamos o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
t^2 cdot t = t^3
Denominador:
(t^2)^2 + t^2 = t^4 + t^2
Então, a expressão fica:
f(de

Passo 4

Vamos simplificar mais ainda a fração. Podemos fatorar t^3t^4 + t^2 = t^3t^2(t^2 + 1) = tt^2 + 1 no denominador:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando limt to 0 tt^2 + 1 = 00 + 1 = 0 se aproxima de 0:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Seja f(x, y)=x yx^2+y^2
a) Considere a reta gamma(t)=(a t, b t), com a^2+b^2>0; mostre que, quaisquer que sejam a e b, lim t 0 f(gamma(t))=0
Considere as funções vetoriais u(t) = (sen t, cos t, t/2) e v(t) = (cos t, sen t, 1)
(e) Determine a equação da reta tangente à trajetória a função u(t), no ponto t = pi / 3.
Primeiro, calcule as derivadas parciais e, em seguida, determine o conjunto de pontos de continuidade.
(a) f(x, y) = 3 x^7 y - 5 x y + 6.
Primeiro, calcule as derivadas parciais e, em seguida, determine o conjunto de pontos de continuidade.
© f(x, y) = (x - 3y) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0)