Seja f(x, y)=x yx^2+y^2
a) Considere a reta gamma(t)=(a t, b t), com a^2+b^2>0; mostre que, quaisquer que sejam a e b, lim t 0 f(gamma(t))=0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o limite de quando tende a 0 é igual a 0. Estamos trabalhando com funções de duas variáveis e limites. Precisamos entender como a função se comporta ao nos aproximarmos de um ponto específico ao longo de uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a parametrização da reta na função . Isso significa que vamos substituir por e por na função.

Passo 3

A função f(gamma(t)) = f(a t, b t) = (a t)(b t)(a t)^2 + (b t)^2 fica:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 4

Multiplicando os termos no numerador:
a b t^2a^2 t^2 + b^2 t^2
No denominador, podemos fatorar a b t^2t^2 (a^2 + b^2) :

Passo 5

Agora, simplificamos a ba^2 + b^2 que está presente no numerador e no denominador:
Perceba que foi cancelado.

Passo 6

Agora, avaliamos o limite quando limt to 0 a ba^2 + b^2 = a ba^2 + b^2 tende a 0. Observe que a expressão resultante não depende de , ou seja, ela é constante:
No entanto, queremos mostrar que esse limite é 0. Para isso, precisamos analisar os valores de e .

Passo 7

Dado que , os únicos casos em que são quando ou . Se e forem diferentes de zero, o limite será diferente de zero, o que contraria o que queremos mostrar.

Passo 8

Parece que houve um equívoco na simplificação anterior. Na verdade, após cancelar , a expressão permanece constante e, portanto, o limite é , que pode ser zero ou outro valor dependendo de e .

Passo 9

Revisando, para qualquer e , a expressão não necessariamente é 0, a não ser que um dos termos seja zero. Portanto, o limite não é sempre 0 para quaisquer e .

Resposta

A afirmação inicial está incorreta. O limite , que não é necessariamente igual a 0 para quaisquer e .

Exercícios relacionados

Considere as funções vetoriais u(t) = (sen t, cos t, t/2) e v(t) = (cos t, sen t, 1)
(e) Determine a equação da reta tangente à trajetória a função u(t), no ponto t = pi / 3.
Considere as funções vetoriais u(t)=(sin t, cos t, t2) e v(t)=(cos t, sin t, 1)
(d) lim t 0 u(t).
Seja f(x, y)=x yx^2+y^2
b) Calcule lim t 0 f(de, onde de.
Primeiro, calcule as derivadas parciais e, em seguida, determine o conjunto de pontos de continuidade.
(a) f(x, y) = 3 x^7 y - 5 x y + 6.