Seja
a) Considere a reta
, com
; mostre que, quaisquer que sejam
e
,
a) Considere a reta
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o limite de
quando
tende a 0 é igual a 0. Estamos trabalhando com funções de duas variáveis e limites. Precisamos entender como a função se comporta ao nos aproximarmos de um ponto específico ao longo de uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a parametrização da reta
na função
. Isso significa que vamos substituir
por
e
por
na função.
Passo 3
A função
fica:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 4
Multiplicando os termos no numerador:
No denominador, podemos fatorar
:
Passo 5
Agora, simplificamos
que está presente no numerador e no denominador:
Perceba que
foi cancelado.
Passo 6
Agora, avaliamos o limite quando
tende a 0. Observe que a expressão resultante não depende de
, ou seja, ela é constante:
No entanto, queremos mostrar que esse limite é 0. Para isso, precisamos analisar os valores de
e
.
Passo 7
Dado que
, os únicos casos em que
são quando
ou
. Se
e
forem diferentes de zero, o limite será diferente de zero, o que contraria o que queremos mostrar.
Passo 8
Parece que houve um equívoco na simplificação anterior. Na verdade, após cancelar
, a expressão permanece constante e, portanto, o limite é
, que pode ser zero ou outro valor dependendo de
e
.
Passo 9
Revisando, para qualquer
e
, a expressão
não necessariamente é 0, a não ser que um dos termos seja zero. Portanto, o limite
não é sempre 0 para quaisquer
e
.
Resposta
A afirmação inicial está incorreta. O limite
, que não é necessariamente igual a 0 para quaisquer
e
.
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e
(e) Determine a equação da reta tangente à trajetória a função , no ponto
.
(e) Determine a equação da reta tangente à trajetória a função
Considere as funções vetoriais
e
(d) .
(d)
Seja
b) Calcule , onde
.
b) Calcule
Primeiro, calcule as derivadas parciais e, em seguida, determine o conjunto de pontos de continuidade.
(a) .
(a)