Dê exemplo de uma função
que seja descontínua em todos os pontos da reta mas que a função
seja contínua em todos os pontos da reta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma função
que seja descontínua em todos os pontos da reta real, mas que a função
seja contínua em todos os pontos. Vamos usar conceitos de continuidade e descontinuidade de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua ou descontínua. Uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “quebras” no gráfico dela nesse ponto. Já uma função é descontínua se possui algum tipo de quebra no gráfico.
Passo 3
Agora, queremos que
seja descontínua em todos os pontos. Isso significa que, em qualquer ponto que você escolher na reta real, a função
deve ter uma quebra ali. Uma maneira de conseguir isso é fazer
assumir valores diferentes dependendo se o número é racional ou irracional.
Passo 4
Vamos definir a função
da seguinte forma:
Dessa forma, em qualquer intervalo que você escolher, sempre vai haver números racionais e irracionais próximos, fazendo com que
“salte” entre 1 e -1 continuamente, ou seja, nunca consegue se estabilizar em um único valor.
Passo 5
Agora, vamos analisar a função
. Aplicando o valor absoluto em
, temos:
Então, independentemente de
ser racional ou irracional,
sempre.
Passo 6
Como
para todo
na reta real, a função
é constante e, portanto, contínua em todos os pontos.
Resposta
Um exemplo é a função definida por
Essa função é descontínua em todos os pontos da reta, mas
é contínua em todos os pontos.