Dê exemplo de uma função f que seja descontínua em todos os pontos da reta mas que a função |f| seja contínua em todos os pontos da reta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma função que seja descontínua em todos os pontos da reta real, mas que a função seja contínua em todos os pontos. Vamos usar conceitos de continuidade e descontinuidade de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua ou descontínua. Uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “quebras” no gráfico dela nesse ponto. Já uma função é descontínua se possui algum tipo de quebra no gráfico.

Passo 3

Agora, queremos que seja descontínua em todos os pontos. Isso significa que, em qualquer ponto que você escolher na reta real, a função deve ter uma quebra ali. Uma maneira de conseguir isso é fazer assumir valores diferentes dependendo se o número é racional ou irracional.

Passo 4

Vamos definir a função da seguinte forma:
éé
Dessa forma, em qualquer intervalo que você escolher, sempre vai haver números racionais e irracionais próximos, fazendo com que “salte” entre 1 e -1 continuamente, ou seja, nunca consegue se estabilizar em um único valor.

Passo 5

Agora, vamos analisar a função . Aplicando o valor absoluto em , temos:
éé
Então, independentemente de ser racional ou irracional, sempre.

Passo 6

Como para todo na reta real, a função é constante e, portanto, contínua em todos os pontos.

Resposta

Um exemplo é a função definida por
éé
Essa função é descontínua em todos os pontos da reta, mas é contínua em todos os pontos.

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