Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
(a) Se , a função admite um ponto de máximo.
(b) O gráfico da função intercepta o eixo x nos pontos de coordenadas e .
© O gráfico da função intercepta o eixo y no ponto de coordenadas se .

Passo 1

Beleza, vamos analisar cada uma das afirmações do exercício que envolvem funções quadráticas. A gente vai precisar entender como as parábolas se comportam no gráfico, identificar pontos de máximo ou mínimo, e encontrar as interseções com os eixos. Vamos passo a passo!

Passo 2

(a) Se , a função admite um ponto de máximo.
Primeiro, vamos lembrar que uma função do tipo é uma parábola. O coeficiente determina se a parábola abre para cima ou para baixo.
  • Se : A parábola abre para cima, ou seja, tem um ponto mais baixo que chamamos de ponto de mínimo.
  • Se : A parábola abre para baixo, tendo um ponto mais alto que é o ponto de máximo.
Neste caso, como , a parábola abre para cima e, portanto, tem um ponto de mínimo, não de máximo.

Passo 3

(b) O gráfico da função intercepta o eixo x nos pontos de coordenadas e .
Para encontrar onde o gráfico intercepta o eixo x, precisamos resolver a equação :
Podemos fatorar a equa��ão:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção com o eixo x são e .

Passo 4

© O gráfico da função intercepta o eixo y no ponto de coordenadas se .
Para encontrar a interseção com o eixo y, calculamos :
Queremos que :
Se :
Logo, quando , o ponto de interseção com o eixo y é , não .

Resposta

(a) Falsa. Quando , a função tem um ponto de mínimo, não de máximo.
(b) Verdadeira. O gráfico da função intercepta o eixo x nos pontos e .
© Falsa. Com , o gráfico intercepta o eixo y no ponto , não .

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Seja . Calcule , para todo . A função é derivável no ponto ? Justifique.
Seja derivável em tal que . Seja uma função limitada e não derivável em . Calcule a derivada de no ponto .
Dê exemplo de uma função que seja descontínua em todos os pontos da reta mas que a função seja contínua em todos os pontos da reta.
Considere as funções e . Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.
(a) O valor de é .
(b) O domínio da função composta é .
© A função inversa de é dada por .
(d) A reta que é gráfico da função intercepta o eixo em .
(e) A função assume valores estritamente positivos para ou .