Sabendo-se que e são soluções de uma equação diferencial ordinária linear e não homogênea de ordem, determinar a solução geral desta equação, onde:
e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos três soluções ( , e ) para uma equação diferencial ordinária (EDO) linear e não homogênea de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, vamos usar conceitos de teoria de EDOs, como soluções particulares e complementares.

Passo 2

Primeiro, lembrando um pouco da teoria: em uma EDO linear não homogênea, a solução geral é a soma da solução geral da equação homogênea associada (solução complementar) com uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 3

Sabemos que e são soluções da EDO. A diferença entre elas é , que deve ser uma solução da equação homogênea associada.

Passo 4

Agora, olhamos para . A diferença entre e é , mas sabemos que já é uma solução da parte homogênea. O termo constante “1” sugere que também precisamos considerar uma solução particular constante.

Passo 5

Para encontrar a solução geral, vamos identificar a solução complementar (homogênea) e uma solução particular da equação não homogênea.
  • Solução Complementar ( ): Com base nas diferenças entre as soluções dadas, temos que é uma solução da equação homogênea. Também, não pode ser uma solução da homogênea, pois está presente em todas as soluções não homogêneas. Portanto, a solução complementar é:
    Onde e são constantes arbitrárias.
  • Solução Particular ( ): Observando , podemos assumir que uma solução particular é do tipo polinomial. Assim, tomamos:

Passo 6

Então, juntando tudo, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.
Considere as funções e .
Mostre que e são LI no intervalo .
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.