Sabendo-se que
e
são soluções de uma equação diferencial ordinária linear e não homogênea de
ordem, determinar a solução geral desta equação, onde:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos três soluções (
,
e
) para uma equação diferencial ordinária (EDO) linear e não homogênea de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, vamos usar conceitos de teoria de EDOs, como soluções particulares e complementares.
Passo 2
Primeiro, lembrando um pouco da teoria: em uma EDO linear não homogênea, a solução geral é a soma da solução geral da equação homogênea associada (solução complementar) com uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 3
Sabemos que
e
são soluções da EDO. A diferença entre elas é
, que deve ser uma solução da equação homogênea associada.
Passo 4
Agora, olhamos para
. A diferença entre
e
é
, mas sabemos que
já é uma solução da parte homogênea. O termo constante “1” sugere que também precisamos considerar uma solução particular constante.
Passo 5
Para encontrar a solução geral, vamos identificar a solução complementar (homogênea) e uma solução particular da equação não homogênea.
-
Solução Complementar (
): Com base nas diferenças entre as soluções dadas, temos que é uma solução da equação homogênea. Também, não pode ser uma solução da homogênea, pois está presente em todas as soluções não homogêneas. Portanto, a solução complementar é: Ondee são constantes arbitrárias. -
Solução Particular (
): Observando , podemos assumir que uma solução particular é do tipo polinomial. Assim, tomamos:
Passo 6
Então, juntando tudo, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.
Considere as funções
e
.
Mostre que e
são LI no intervalo
.
Mostre que
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.