Considere as funções
e a equação diferencial
Mostre que
e
são ambas soluções para a equação diferencial 1 em que
e
são constantes reais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui são duas funções,
e
, e uma equação diferencial:
Nosso objetivo é mostrar que
e
são soluções dessa equação, onde
e
são constantes reais. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial básico, ou seja, calcular derivadas e substituir na equação diferencial para verificar se a igualdade se mantém.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é uma solução da equação diferencial. Para isso, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de
.
Calculando as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Isso confirma que
é de fato uma solução da equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Primeiro, calculamos as derivadas:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Assim,
também satisfaz a equação diferencial.
Resposta
Portanto, tanto
quanto
são soluções da equação diferencial
para quaisquer constantes reais
e
.