Considere as funções y1 = x^2, y2 = x^3 e a equação diferencial
x^2 y'' - 4 x y' + 6 y = 0
Mostre que c1 y1 e c2 y2 são ambas soluções para a equação diferencial 1 em que c1 e c2 são constantes reais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui são duas funções, e , e uma equação diferencial:
Nosso objetivo é mostrar que e são soluções dessa equação, onde e são constantes reais. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial básico, ou seja, calcular derivadas e substituir na equação diferencial para verificar se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução da equação diferencial. Para isso, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de .
Calculando as derivadas:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial:
Simplificando:
Isso confirma que é de fato uma solução da equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para . Primeiro, calculamos as derivadas:

Passo 5

Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Assim, também satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Portanto, tanto quanto são soluções da equação diferencial para quaisquer constantes reais e .

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