Determine a integração.
(a) integral f^prime(x)f(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente integração de funções racionais onde o numerador é a derivada do denominador. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de logaritmos naturais e propriedades das derivadas.

Passo 2

Primeiro, observe que a integral tem a forma . Aqui, é a derivada de em relação a . Quando você tem uma fração onde o numerador é a derivada do denominador, isso sugere que a integração está relacionada ao logaritmo natural.

Passo 3

Lembra que a derivada do logaritmo natural de uma função, ou seja, , é igual a . Isso é uma propriedade fundamental dos logaritmos e das derivadas. Então, se derivamos , obtemos exatamente a função que está dentro da integral.

Passo 4

Com base nisso, podemos concluir que a integral de é simplesmente o logaritmo natural de , mais uma constante de integração que sempre adicionamos quando integramos.

Resposta

integral f^prime(x)f(x) , dx = ln|f(x)| + C

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