Seja
c_{n+2} = (n-3) / ((n+1)(n+4)) c_{n}
a equação de recorrência de uma EDO. Verifique se as soluções cânonicas são polinômios.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação de recorrência que relaciona os coeficientes de uma solução de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO). O enunciado é:
O que precisamos fazer é verificar se as soluções canônicas dessa EDO são polinômios. Para isso, vamos precisar entender como funciona uma equação de recorrência e como ela pode nos ajudar a determinar se a solução é um polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação de recorrência. Basicamente, ela nos diz como calcular um termo da sequência a partir de termos anteriores. No nosso caso, para encontrar , precisamos de .
Como estamos procurando soluções polinomiais, nossos coeficientes devem se tornar zero a partir de certo ponto, pois um polinômio tem grau finito. Isso significa que, para um polinômio de grau , todos os coeficientes para devem ser zero.

Passo 3

Vamos assumir que existe um polinômio solução de grau . Isso implica que e . Vamos usar a equação de recorrência para encontrar condições sobre .
Da equação:
Para , ou então ou . Mas nunca é zero para números reais, então a única possibilidade é , ou seja, .

Passo 4

Então, concluímos que o polinômio deve ter grau . Agora, vamos verificar se essa escolha faz sentido.
Para :
Isso confirma que, para , a sequência de coeficientes se anula, garantindo que o polinômio tenha grau 3.

Passo 5

Agora, precisamos garantir que todos os coeficientes anteriores para existam e não causem problemas na recorrência. Vamos calcular alguns coeficientes para ver se tudo está certo.
Assumindo e como constantes arbitrárias (já que em uma EDO de segunda ordem, geralmente temos duas constantes de integração), os demais coeficientes são determinados pela recorrência.
Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Perceba que a partir de , todos os coeficientes serão zero, confirmando que temos um polinômio de grau 3.

Resposta

Sim, as soluções canônicas da equação de recorrência são polinômios de grau 3.

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