Seja
a equação de recorrência de uma EDO. Verifique se as soluções cânonicas são polinômios.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação de recorrência que relaciona os coeficientes de uma solução de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO). O enunciado é:
O que precisamos fazer é verificar se as soluções canônicas dessa EDO são polinômios. Para isso, vamos precisar entender como funciona uma equação de recorrência e como ela pode nos ajudar a determinar se a solução é um polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação de recorrência. Basicamente, ela nos diz como calcular um termo da sequência a partir de termos anteriores. No nosso caso, para encontrar
, precisamos de
.
Como estamos procurando soluções polinomiais, nossos coeficientes
devem se tornar zero a partir de certo ponto, pois um polinômio tem grau finito. Isso significa que, para um polinômio de grau
, todos os coeficientes
para
devem ser zero.
Passo 3
Vamos assumir que existe um polinômio solução de grau
. Isso implica que
e
. Vamos usar a equação de recorrência para encontrar condições sobre
.
Da equação:
Para
, ou então
ou
. Mas
nunca é zero para números reais, então a única possibilidade é
, ou seja,
.
Passo 4
Então, concluímos que o polinômio deve ter grau
. Agora, vamos verificar se essa escolha faz sentido.
Para
:
Isso confirma que, para
, a sequência de coeficientes se anula, garantindo que o polinômio tenha grau 3.
Passo 5
Agora, precisamos garantir que todos os coeficientes anteriores
para
existam e não causem problemas na recorrência. Vamos calcular alguns coeficientes para ver se tudo está certo.
Assumindo
e
como constantes arbitrárias (já que em uma EDO de segunda ordem, geralmente temos duas constantes de integração), os demais coeficientes são determinados pela recorrência.
Por exemplo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Perceba que a partir de
, todos os coeficientes serão zero, confirmando que temos um polinômio de grau 3.
Resposta
Sim, as soluções canônicas da equação de recorrência são polinômios de grau 3.