Considere
uma função duas vezes diferenciável. Então, a função
é duas vezes diferenciável e satisfaz:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
, onde
é uma função que pode ser diferenciada duas vezes. A tarefa é mostrar que
também pode ser diferenciada duas vezes e encontrar a expressão para a segunda derivada
. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A função
é o produto de duas funções:
e
. Quando temos o produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz:
Aplicando isso aqui:
Sabemos que a derivada de
é
, então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, vamos derivar
em relação a
. Temos:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro, derivamos
:
Usando novamente a regra do produto:
Segundo, derivamos
:
Isso pode ser reescrito como
. Usando a regra do produto e a regra da potência:
Simplificando:
Passo 4
Agora, somamos as duas partes derivadas:
Simplificando os termos semelhantes:
Resposta
A segunda derivada de
é: