Considere g(x) = f(x) * raiz(x) , com f(x) uma função duas vezes diferenciável. Então, a função g(x) é duas vezes diferenciável e satisfaz:
c) g''(x) = f''(x) * raiz(x) + f'(x) / (2 * raiz(x))

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função , onde é uma função que pode ser diferenciada duas vezes. A tarefa é mostrar que também pode ser diferenciada duas vezes e encontrar a expressão para a segunda derivada . Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função é o produto de duas funções: e . Quando temos o produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz:
Aplicando isso aqui:
Sabemos que a derivada de é , então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos derivar em relação a . Temos:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro, derivamos :
Usando novamente a regra do produto:
Segundo, derivamos :
Isso pode ser reescrito como . Usando a regra do produto e a regra da potência:
Simplificando:

Passo 4

Agora, somamos as duas partes derivadas:
Simplificando os termos semelhantes:

Resposta

A segunda derivada de é:

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