Considere
uma função duas vezes diferenciável. Então, a função
é duas vezes diferenciável e satisfaz:
h) $g^{\prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x) \sqrt{x}+\frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x}}-\frac{f(x)}{4 x \sqrt{x}}
h) $g^{\prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x) \sqrt{x}+\frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x}}-\frac{f(x)}{4 x \sqrt{x}}
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
, onde
é uma função que pode ser derivada duas vezes (duas vezes diferenciável). A tarefa é encontrar a segunda derivada de
, ou seja,
, e mostrar que ela é igual a:
Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia na diferenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
, que é
. Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é:
Aqui,
e
. Então:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a segunda derivada
. Isso significa derivar
novamente. Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro, derivamos
:
Aqui, usamos a regra do produto novamente e a derivada de
.
Segundo, derivamos
:
Para isso, usamos a regra do quociente, onde derivamos o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Agora, juntamos as derivadas dos dois termos:
Simplificando:
Resposta
A segunda derivada de
é: