Considere g(x) = f(x) * raiz(x) , com f(x) uma função duas vezes diferenciável. Então, a função g(x) é duas vezes diferenciável e satisfaz:
h) $g^{\prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x) \sqrt{x}+\frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x}}-\frac{f(x)}{4 x \sqrt{x}}

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função , onde é uma função que pode ser derivada duas vezes (duas vezes diferenciável). A tarefa é encontrar a segunda derivada de , ou seja, , e mostrar que ela é igual a:
Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia na diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de , que é . Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é:
Aqui, e . Então:
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada . Isso significa derivar novamente. Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro, derivamos :
Aqui, usamos a regra do produto novamente e a derivada de .
Segundo, derivamos :
Para isso, usamos a regra do quociente, onde derivamos o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Agora, juntamos as derivadas dos dois termos:
Simplificando:

Resposta

A segunda derivada de é:

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