Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa verificar se o limite dessa função existe quando se aproxima de , onde pode ser ou . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções absolutas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa existir. Isso quer dizer que, conforme se aproxima de por valores menores e maiores, os valores de se aproximam de um mesmo número.
Passo 3
Vamos começar analisando o caso quando . Substituindo na função:
Passo 4
Agora, para verificar o limite, vamos calcular o limite pela esquerda () e pela direita ():
Quando se aproxima de pela esquerda:
Então:
Quando se aproxima de pela direita:
As condições continuam iguais, pois não há mudança de sinal nas expressões absolutas próximas a .
Portanto:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, o limite existe e é igual a .
Passo 5
Agora vamos analisar quando . Substituindo na função:
Passo 6
Vamos calcular os limites pela esquerda () e pela direita ():
Quando se aproxima de pela esquerda:
Então:
Quando se aproxima de pela direita:
Então:
Como os limites pela esquerda e pela direita também são iguais a , o limite existe e é igual a .
Resposta
O limite de existe para e para , com valores e respectivamente.