Considere a g(x)=|2 x-1|-|4-x|.
(c) Verifique se lim x a f(x) existe, quando a=1 / 2 e a=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa verificar se o limite dessa função existe quando se aproxima de , onde pode ser ou . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções absolutas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa existir. Isso quer dizer que, conforme se aproxima de por valores menores e maiores, os valores de se aproximam de um mesmo número.

Passo 3

Vamos começar analisando o caso quando g(12) = |2(12) - 1| - |4 - 12| = |1 - 1| - |3.5| = 0 - 3.5 = -3.5 . Substituindo na função:

Passo 4

Agora, para verificar o limite, vamos calcular o limite pela esquerda ( 2x - 1 < 0 implies |2x - 1| = -(2x - 1) ) e pela direita ( 4 - x > 0 implies |4 - x| = 4 - x ):
  • Quando g(x) = -(2x - 1) - (4 - x) = -2x + 1 - 4 + x = -x - 3 se aproxima de limx to 12^- g(x) = -(12) - 3 = -72 = -3.5 pela esquerda:
    limx to 12^+ g(x) = -3.5
    Então:
  • Quando se aproxima de pela direita:
    As condições continuam iguais, pois não há mudança de sinal nas expressões absolutas próximas a .
    Portanto:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, o limite existe e é igual a .

Passo 5

Agora vamos analisar quando g(4) = |2 times 4 - 1| - |4 - 4| = |8 - 1| - |0| = 7 - 0 = 7 . Substituindo na função:

Passo 6

Vamos calcular os limites pela esquerda ( 2x - 1 > 0 implies |2x - 1| = 2x - 1 ) e pela direita ( 4 - x > 0 implies |4 - x| = 4 - x ):
  • Quando g(x) = (2x - 1) - (4 - x) = 2x - 1 - 4 + x = 3x - 5 se aproxima de limx to 4^- g(x) = 3 times 4 - 5 = 12 - 5 = 7 pela esquerda:
    2x - 1 > 0 implies |2x - 1| = 2x - 1
    4 - x < 0 implies |4 - x| = -(4 - x) = x - 4
    Então:
    g(x) = (2x - 1) - (x - 4) = 2x - 1 - x + 4 = x + 3
    limx to 4^+ g(x) = 4 + 3 = 7
  • Quando se aproxima de pela direita:
    Então:
Como os limites pela esquerda e pela direita também são iguais a , o limite existe e é igual a .

Resposta

O limite de existe para e para , com valores e respectivamente.

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