Considere a .
existe, quando e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa verificar se o limite dessa função existe quando se aproxima de , onde pode ser ou . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções absolutas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa existir. Isso quer dizer que, conforme se aproxima de por valores menores e maiores, os valores de se aproximam de um mesmo número.

Passo 3

Vamos começar analisando o caso quando . Substituindo na função:

Passo 4

Agora, para verificar o limite, vamos calcular o limite pela esquerda ( ) e pela direita ( ):
  • Quando se aproxima de pela esquerda:
    Então:
  • Quando se aproxima de pela direita:
    As condições continuam iguais, pois não há mudança de sinal nas expressões absolutas próximas a .
    Portanto:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, o limite existe e é igual a .

Passo 5

Agora vamos analisar quando . Substituindo na função:

Passo 6

Vamos calcular os limites pela esquerda ( ) e pela direita ( ):
  • Quando se aproxima de pela esquerda:
    Então:
  • Quando se aproxima de pela direita:
    Então:
Como os limites pela esquerda e pela direita também são iguais a , o limite existe e é igual a .

Resposta

O limite de existe para e para , com valores e respectivamente.

Exercícios relacionados

Considere a .
$(a) Reescreva a função sem o uso do símbolo de valor absoluto.
Resolva em as equações abaixo
Analise o sinal das funções abaixo:
Em cada item, verifique se o limite existe. Em caso afirmativo, calcule-o. Em caso negativo, justifique.