Considere uma trajetória em sua velocidade e sua aceleração. Suponha que é um campo vetorial, e (que é a segunda lei de Newton). Prove que . O que se pode concluir se é paralelo a ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma trajetória no espaço tridimensional . A velocidade nessa trajetória é e a aceleração é . Também temos um campo vetorial , e sabemos que , onde (isso é a famosa segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração).
Nosso objetivo é provar que a derivada em relação ao tempo do produto vetorial entre a posição e é igual ao produto vetorial entre a posição e a força . Além disso, queremos descobrir o que podemos concluir se a força for paralela a .
Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar produtos vetoriais e aplicar a segunda lei de Newton. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da velocidade e aceleração:
  • Velocidade:
  • Aceleração:
A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante aplicada a uma partícula de massa é igual a massa vezes aceleração:

Passo 3

Agora, vamos focar na expressão que precisamos derivar:
Aqui, temos o produto vetorial entre e . Para derivar isso, vamos usar a regra do produto para derivadas de produtos vetoriais. A regra é semelhante à regra do produto para funções escalares, mas adaptada para vetores.
A regra do produto vetorial diz que:
Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde e .

Passo 4

Aplicando a regra do produto vetorial:
Como é uma constante, podemos tirar da derivada:
(Note que e )

Passo 5

Agora, vamos analisar cada termo dessa expressão:
  1. Primeiro termo:
Aqui, temos o produto vetorial de um vetor com ele mesmo multiplicado por uma constante. Lembre-se que o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é zero:
Portanto:
  1. Segundo termo:
Podemos reescrever isso usando a segunda lei de Newton, que nos diz que :

Passo 6

Juntando os dois termos que calculamos:
Isso prova a primeira parte do que nos foi pedido:

Passo 7

Agora, vamos para a segunda parte da questão: o que podemos concluir se é paralelo a ?
Se dois vetores são paralelos, seu produto vetorial é zero. Ou seja, se é paralelo a , então:
Dos resultados anteriores, sabemos que:
Isso implica que:
Quando a derivada de uma função é zero, isso significa que a função é constante no tempo.

Resposta

Portanto, concluímos que se a força for paralela à posição , então o produto vetorial permanece constante ao longo do tempo.

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