Considere gamma(t) uma trajetória em R^3, v(t) sua velocidade e a(t) sua aceleração. Suponha que F é um campo vetorial, m > 0 e F(γ(t)) = m a(t) (que é a segunda lei de Newton). Prove que d/dt (gamma(t) x m v(t)) = gamma(t) x F(gamma(t)). O que se pode concluir se F(gamma(t)) é paralelo a gamma(t)?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma trajetória gamma(t) no espaço tridimensional R^3. A velocidade nessa trajetória é v(t) e a aceleração é a(t). Também temos um campo vetorial F, e sabemos que , onde (isso é a famosa segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração).
Nosso objetivo é provar que a derivada em relação ao tempo do produto vetorial entre a posição gamma(t) e é igual ao produto vetorial entre a posição gamma(t) e a força F(gamma(t)). Além disso, queremos descobrir o que podemos concluir se a força F(gamma(t)) for paralela a gamma(t).
Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar produtos vetoriais e aplicar a segunda lei de Newton. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da velocidade e aceleração:
  • Velocidade:
  • Aceleração:
A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante F aplicada a uma partícula de massa m é igual a massa vezes aceleração:

Passo 3

Agora, vamos focar na expressão que precisamos derivar:
Aqui, temos o produto vetorial entre gamma(t) e . Para derivar isso, vamos usar a regra do produto para derivadas de produtos vetoriais. A regra é semelhante à regra do produto para funções escalares, mas adaptada para vetores.
A regra do produto vetorial diz que:
Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde e .

Passo 4

Aplicando a regra do produto vetorial:
Como m é uma constante, podemos tirar m da derivada:
(Note que e )

Passo 5

Agora, vamos analisar cada termo dessa expressão:
  1. Primeiro termo:
Aqui, temos o produto vetorial de um vetor com ele mesmo multiplicado por uma constante. Lembre-se que o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é zero:
Portanto:
  1. Segundo termo:
Podemos reescrever isso usando a segunda lei de Newton, que nos diz que :

Passo 6

Juntando os dois termos que calculamos:
Isso prova a primeira parte do que nos foi pedido:

Passo 7

Agora, vamos para a segunda parte da questão: o que podemos concluir se F(gamma(t)) é paralelo a gamma(t)?
Se dois vetores são paralelos, seu produto vetorial é zero. Ou seja, se F(gamma(t)) é paralelo a gamma(t), então:
Dos resultados anteriores, sabemos que:
Isso implica que:
Quando a derivada de uma função é zero, isso significa que a função é constante no tempo.

Resposta

Portanto, concluímos que se a força F(gamma(t)) for paralela à posição gamma(t), então o produto vetorial permanece constante ao longo do tempo.

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