Considere
uma trajetória em
sua velocidade e
sua aceleração. Suponha que
é um campo vetorial,
e
(que é a segunda lei de Newton). Prove que
. O que se pode concluir se
é paralelo a
?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma trajetória
no espaço tridimensional
. A velocidade nessa trajetória é
e a aceleração é
. Também temos um campo vetorial
, e sabemos que
, onde
(isso é a famosa segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração).
Nosso objetivo é provar que a derivada em relação ao tempo do produto vetorial entre a posição
e
é igual ao produto vetorial entre a posição
e a força
. Além disso, queremos descobrir o que podemos concluir se a força
for paralela a
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar produtos vetoriais e aplicar a segunda lei de Newton. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da velocidade e aceleração:
- Velocidade:
- Aceleração:
A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante
aplicada a uma partícula de massa
é igual a massa vezes aceleração:
Passo 3
Agora, vamos focar na expressão que precisamos derivar:
Aqui, temos o produto vetorial entre
e
. Para derivar isso, vamos usar a regra do produto para derivadas de produtos vetoriais. A regra é semelhante à regra do produto para funções escalares, mas adaptada para vetores.
A regra do produto vetorial diz que:
Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde
e
.
Passo 4
Aplicando a regra do produto vetorial:
Como
é uma constante, podemos tirar
da derivada:
(Note que
e
)
Passo 5
Agora, vamos analisar cada termo dessa expressão:
- Primeiro termo:
Aqui, temos o produto vetorial de um vetor com ele mesmo multiplicado por uma constante. Lembre-se que o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é zero:
Portanto:
- Segundo termo:
Podemos reescrever isso usando a segunda lei de Newton, que nos diz que
:
Passo 6
Juntando os dois termos que calculamos:
Isso prova a primeira parte do que nos foi pedido:
Passo 7
Agora, vamos para a segunda parte da questão: o que podemos concluir se
é paralelo a
?
Se dois vetores são paralelos, seu produto vetorial é zero. Ou seja, se
é paralelo a
, então:
Dos resultados anteriores, sabemos que:
Isso implica que:
Quando a derivada de uma função é zero, isso significa que a função é constante no tempo.
Resposta
Portanto, concluímos que se a força
for paralela à posição
, então o produto vetorial
permanece constante ao longo do tempo.
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.
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.