Traçar algumas linhas de fluxo do campo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber como traçar algumas linhas de fluxo do campo vetorial
. Isso faz parte do estudo de campos vetoriais e suas linhas de fluxo, que mostram como o campo “move” pontos no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar as trajetórias que seguem exatamente a direção do campo em cada ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são linhas de fluxo. Elas são curvas no plano tal que, em cada ponto da curva, a direção da curva coincide com o vetor do campo naquele ponto. Para encontrar essas linhas, precisamos resolver um sistema de equações diferenciais que descrevem como
e
mudam em relação ao tempo.
No nosso caso, o campo é
, então temos:
Essas equações nos dizem como
e
evoluem ao longo do tempo seguindo o campo
.
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações diferenciais. Uma maneira eficiente de fazer isso é derivar uma das equações para eliminar uma das variáveis.
Começando com
, derivamos ambos os lados em relação ao tempo:
Mas sabemos que
da segunda equação. Substituindo, temos:
Essa é uma equação diferencial diferencial harmônica, cuja solução geral é:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Agora, usando
, podemos achar
:
Agora, para encontrar a relação entre
e
sem depender do tempo
, podemos eliminar
. Note que:
Explicando esse passo:
Os termos
e
se cancelam, e somando os restantes:
Assim, a relação entre
e
é:
Isso significa que as linhas de fluxo são círculos de raio
centrados na origem.
Resposta
As linhas de fluxo do campo
são círculos com equação
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Considere
uma trajetória em
sua velocidade e
sua aceleração. Suponha que
é um campo vetorial,
e
(que é a segunda lei de Newton). Prove que
. O que se pode concluir se
é paralelo a
?
Uma partícula segue a trajetória
até que se desliga seguindo pela tangente à curva em
. Qual é sua posição em
?
Seja
uma linha de fluxo do campo gradiente
. Provar que
é uma função decrescente em relação a
.
Prove que
é uma linha de fluxo de
).