Traçar algumas linhas de fluxo do campo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber como traçar algumas linhas de fluxo do campo vetorial . Isso faz parte do estudo de campos vetoriais e suas linhas de fluxo, que mostram como o campo “move” pontos no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar as trajetórias que seguem exatamente a direção do campo em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são linhas de fluxo. Elas são curvas no plano tal que, em cada ponto da curva, a direção da curva coincide com o vetor do campo naquele ponto. Para encontrar essas linhas, precisamos resolver um sistema de equações diferenciais que descrevem como e mudam em relação ao tempo.
No nosso caso, o campo é , então temos:
Essas equações nos dizem como e evoluem ao longo do tempo seguindo o campo .

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações diferenciais. Uma maneira eficiente de fazer isso é derivar uma das equações para eliminar uma das variáveis.
Começando com , derivamos ambos os lados em relação ao tempo:
Mas sabemos que da segunda equação. Substituindo, temos:
Essa é uma equação diferencial diferencial harmônica, cuja solução geral é:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.
Agora, usando , podemos achar :
Agora, para encontrar a relação entre e sem depender do tempo , podemos eliminar . Note que:
Explicando esse passo:
Os termos e se cancelam, e somando os restantes:
Assim, a relação entre e é:
Isso significa que as linhas de fluxo são círculos de raio centrados na origem.

Resposta

As linhas de fluxo do campo são círculos com equação , onde é uma constante.

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