Em uma região do espaço livre e num certo instante de tempo, o campo elétrico é E=(80,0 imath+ 32,0 jmath-64,0 k) N / C e o campo magnético é B=(0,200 imath+0,0800 jmath+0,290 k) mu T. (a) Mostre que os dois campos são perpendiculares entre si. (b) Determine o vetor de Poynting para esta onda eletromagnética. (Note que é possível o campo elétrico e o campo magnético, num dado instante de tempo e num certo ponto do espaço, terem componentes nas direções x, y e z, considerando que os campos devem ser necessariamente perpendiculares).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos dá dois campos: o campo elétrico e o campo magnético em uma região do espaço. Precisamos resolver duas partes:
a) Mostrar que e são perpendiculares.
b) Determinar o vetor de Poynting para essa onda eletromagnética.
Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produtos escalares na parte a, e na parte b, utilizaremos a definição do vetor de Poynting que relaciona os campos elétrico e magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se E = (80,0 imath + 32,0 jmath - 64,0 k) N/C e B = (0,200 imath + 0,0800 jmath + 0,290 k) muT são perpendiculares. Para isso, usamos o produto escalar. Se o produto escalar entre dois vetores for zero, eles são perpendiculares.
As expressões dos vetores são:

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar E cdot B = Ex Bx + Ey By + Ez Bz :
E cdot B = (80,0)(0,200) + (32,0)(0,0800) + (-64,0)(0,290)
Substituindo os valores:

Passo 4

Fazendo as multiplicações:
80,0 times 0,200 = 16,0
32,0 times 0,0800 = 2,56
-64,0 times 0,290 = -18,56
Somando tudo:
16,0 + 2,56 - 18,56 = 0
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares.

Passo 5

Agora, vamos determinar o vetor de Poynting S = 1mu0 E times B . Ele é dado por:
Onde é a permeabilidade do vácuo, aproximadamente .

Passo 6

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial E times B = imath & jmath & k 80,0 & 32,0 & -64,0 0,200 & 0,0800 & 0,290 . Usamos o determinante:

Passo 7

Calculando o determinante:
E times B = imath (32,0 times 0,290 - (-64,0) times 0,0800) - jmath (80,0 times 0,290 - (-64,0) times 0,200) + k (80,0 times 0,0800 - 32,0 times 0,200)
= imath (9,28 + 5,12) - jmath (23,2 + 12,8) + k (6,4 - 6,4)
= imath (14,40) - jmath (36,0) + k (0)
= 14,40 imath - 36,0 jmath

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula do vetor de Poynting:
S = 1mu0 (14,40 imath - 36,0 jmath)
Substituindo S = 14pi times 10^-7 (14,40 imath - 36,0 jmath) :

Passo 9

Calculando o valor:
14pi times 10^-7 approx 7,96 times 10^5 N/A^2
Multiplicando:
S approx 7,96 times 10^5 times 14,40 imath - 7,96 times 10^5 times 36,0 jmath
S approx 1,146 times 10^7 imath - 2,866 times 10^7 jmath W/m^2

Resposta

(a) Os campos elétrico S approx (1,146 times 10^7 imath - 2,866 times 10^7 jmath) W/m^2 e magnético são perpendiculares entre si porque o produto escalar é igual a zero.
(b) O vetor de Poynting para esta onda eletromagnética é:

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