Em uma região do espaço livre e num certo instante de tempo, o campo elétrico é e o campo magnético é . (a) Mostre que os dois campos são perpendiculares entre si. (b) Determine o vetor de Poynting para esta onda eletromagnética. (Note que é possível o campo elétrico e o campo magnético, num dado instante de tempo e num certo ponto do espaço, terem componentes nas direções e , considerando que os campos devem ser necessariamente perpendiculares).
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos dá dois campos: o campo elétrico e o campo magnético em uma região do espaço. Precisamos resolver duas partes:
a) Mostrar que e são perpendiculares.
b) Determinar o vetor de Poynting para essa onda eletromagnética.
Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produtos escalares na parte a, e na parte b, utilizaremos a definição do vetor de Poynting que relaciona os campos elétrico e magnético.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se e são perpendiculares. Para isso, usamos o produto escalar. Se o produto escalar entre dois vetores for zero, eles são perpendiculares.
As expressões dos vetores são:
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar :
Substituindo os valores:
Passo 4
Fazendo as multiplicações:
Somando tudo:
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares.
Passo 5
Agora, vamos determinar o vetor de Poynting . Ele é dado por:
Onde é a permeabilidade do vácuo, aproximadamente .
Passo 6
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . Usamos o determinante:
Passo 7
Calculando o determinante:
E times B = imath (32,0 times 0,290 - (-64,0) times 0,0800) - jmath (80,0 times 0,290 - (-64,0) times 0,200) + k (80,0 times 0,0800 - 32,0 times 0,200)
Substituindo S = 14pi times 10^-7 (14,40 imath - 36,0 jmath) :
Passo 9
Calculando o valor:
14pi times 10^-7 approx 7,96 times 10^5 N/A^2
Multiplicando:
S approx 7,96 times 10^5 times 14,40 imath - 7,96 times 10^5 times 36,0 jmath
S approx 1,146 times 10^7 imath - 2,866 times 10^7 jmath W/m^2
Resposta
(a) Os campos elétrico S approx (1,146 times 10^7 imath - 2,866 times 10^7 jmath) W/m^2 e magnético são perpendiculares entre si porque o produto escalar é igual a zero.
(b) O vetor de Poynting para esta onda eletromagnética é: