Considere uma grande parede plana de espessura
, condutividade térmica
.K érea
. Os dois lados da parede são mantidos a temperaturas constantes
e
. Determine:
a) A distribuição da temperatura na parede;
b) Temperatura em
;
c) A taxa de transferência de calor por condução pela parede sob condiçōes permanentes.
a) A distribuição da temperatura na parede;
b) Temperatura em
c) A taxa de transferência de calor por condução pela parede sob condiçōes permanentes.
Passo 1
Vamos entender o problema que temos aqui. Temos uma grande parede plana com uma espessura de
, condutividade térmica
e área de
. As duas faces da parede estão mantidas a temperaturas constantes de
e
. O que queremos descobrir são:
a) Como a temperatura varia dentro da parede.
b) Qual é a temperatura em um ponto específico,
, dentro da parede.
c) A taxa de transferência de calor por condução através da parede quando o sistema está em estado permanente.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em regime estacionário, aplicando a lei de Fourier para a condução térmica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a distribuição da temperatura na parede. Em regime permanente, a condução de calor é descrita pela equação de Fourier:
Isso significa que a segunda derivada da temperatura em relação à posição é zero, indicando que a temperatura varia de forma linear através da espessura da parede.
Passo 3
Integrando a equação, obtemos a primeira integral:
Onde
é uma constante de integração. Integrando novamente:
Aqui,
é outra constante de integração. Agora, precisamos determinar essas constantes usando as condições de contorno fornecidas pelo problema.
Passo 4
As condições de contorno são:
Para
,
.
Para
,
.
Substituindo na equação da temperatura:
Para
:
Para
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora que temos as constantes, podemos escrever a expressão da distribuição de temperatura na parede:
Mas vamos converter as unidades para metros, já que a condutividade térmica está em
. Como
está em centímetros,
(para o item b).
Passo 6
Para encontrar a temperatura em
, substitu��mos
na equação da temperatura:
Calculando:
Passo 7
Finalmente, para determinar a taxa de transferência de calor por condução, usamos a lei de Fourier:
Já sabemos que
(convertendo para metros).
Substituindo os valores:
Calculando:
Resposta
a) A distribuição da temperatura na parede é dada por
.
b) A temperatura em
é
.
c) A taxa de transferência de calor por condução pela parede é aproximadamente
.