Considere uma grande parede plana de espessura L=30 cm, condutividade térmica K= 1,25 W / m.K érea 20 m^2. Os dois lados da parede são mantidos a temperaturas constantes T1=125^circ C e T2=45^circ C. Determine:
a) A distribuição da temperatura na parede;
b) Temperatura em x=10 cm;
c) A taxa de transferência de calor por condução pela parede sob condiçōes permanentes.

Passo 1

Vamos entender o problema que temos aqui. Temos uma grande parede plana com uma espessura de L=30,cm, condutividade térmica K=1,25,W/mcdot K e área de 20,m^2. As duas faces da parede estão mantidas a temperaturas constantes de T1=125^circC e T2=45^circC. O que queremos descobrir são:
a) Como a temperatura varia dentro da parede.
b) Qual é a temperatura em um ponto específico, x=10,cm, dentro da parede.
c) A taxa de transferência de calor por condução através da parede quando o sistema está em estado permanente.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em regime estacionário, aplicando a lei de Fourier para a condução térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a distribuição da temperatura na parede. Em regime permanente, a condução de calor é descrita pela equação de Fourier:
d^2Tdx^2 = 0
Isso significa que a segunda derivada da temperatura em relação à posição é zero, indicando que a temperatura varia de forma linear através da espessura da parede.

Passo 3

Integrando a equação, obtemos a primeira integral:
dTdx = C1
Onde C1 é uma constante de integração. Integrando novamente:
T(x) = C1x + C2
Aqui, C2 é outra constante de integração. Agora, precisamos determinar essas constantes usando as condições de contorno fornecidas pelo problema.

Passo 4

As condições de contorno são:
Para x=0, T = T1 = 125^circC.
Para x=L=30,cm, T = T2 = 45^circC.
Substituindo na equação da temperatura:
Para x=0:
125 = C1(0) + C2 implies C2 = 125
Para x=30,cm:
45 = C1(30) + 125
Resolvendo para C1:
C1 = 45 - 12530 = -8030 = -83,°C/cm

Passo 5

Agora que temos as constantes, podemos escrever a expressão da distribuição de temperatura na parede:
T(x) = -83x + 125
Mas vamos converter as unidades para metros, já que a condutividade térmica está em W/mcdot K. Como x está em centímetros, x = 0,10,m (para o item b).

Passo 6

Para encontrar a temperatura em x=10,cm, substitu��mos x=10,cm na equação da temperatura:
T(10,cm) = -83(10) + 125 = -803 + 125
Calculando:
T(10,cm) = -26,67 + 125 = 98,33^circC

Passo 7

Finalmente, para determinar a taxa de transferência de calor por condução, usamos a lei de Fourier:
dotQ = -K cdot A cdot dTdx
Já sabemos que dTdx = -83,°C/cm = -8003,°C/m (convertendo para metros).
Substituindo os valores:
dotQ = -1,25 cdot 20 cdot (-8003) = 1,25 cdot 20 cdot 8003
Calculando:
dotQ = 1,25 cdot 20 cdot 266,67 approx 6666,67,W

Resposta

a) A distribuição da temperatura na parede é dada por T(x) = -83x + 125,^circC.
b) A temperatura em x=10,cm é 98,33^circC.
c) A taxa de transferência de calor por condução pela parede é aproximadamente 6666,67,W.

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