Quais elementos de
, o) são seus próprios inversos?
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a questão de descobrir quais elementos do grupo
são seus próprios inversos. Isso tá ligado ao estudo de grupos na matemática, especificamente sobre permutações. Pra resolver, vamos precisar entender o que são inversos em grupos e como identificar esses elementos no conjunto das permutações de 4 elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o grupo de todas as permutações possíveis de 4 elementos. Cada elemento de
pode ser pensado como uma reordenação desses 4 elementos.
Passo 3
Um elemento ser seu próprio inverso significa que, se você aplicar a permutação duas vezes, você volta para a posição inicial. Matematicamente, isso quer dizer que o elemento tem ordem 1 ou 2.
Passo 4
No contexto de permutações, a identidade (que não muda nada) tem ordem 1. Então, a identidade é definitivamente um elemento que é seu próprio inverso.
Passo 5
Agora, vamos pensar nas transposições, que são permutações que trocam dois elementos e deixam os outros dois iguais. Por exemplo,
troca o 1 com o 2. Se você aplicar essa transposição duas vezes, volta tudo como estava, então as transposições têm ordem 2 e são seus próprios inversos.
Passo 6
Além das transposições simples, temos as permutações que são produto de duas transposições disjuntas, como
. Essas também, quando aplicadas duas vezes, retornam à identidade. Então, elas também têm ordem 2 e são seus próprios inversos.
Resposta
Os elementos de
que são seus próprios inversos são:
- A identidade;
- As transposições simples, como
; - As permutações que são produto de duas transposições disjuntas, como
.
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Considere o grupo
do item 7. Quais dos subconjuntos de
são subgrupos?
O subconjunto das matrizes triangulares superiores, com todos elementos diagonal diferente de
O subconjunto das matrizes triangulares superiores, com todos elementos diagonal diferente de
Seja
a base de
constituída pelos vectores
Calcule as componentes do vector
nesta base.
Suponha
e
ciclos disjuntos de
, digamos
e
com
, para todo
e
.
Calcule e
, prara todo
, com
e
para todo
e
.
Calcule
Mostrar que se
é ortogonal a
e
é também ortogonal a
.