Suponha alpha e beta ciclos disjuntos de Sn, digamos alpha=(a1 a2 a3 ldots as) e beta=(b1 b2 b3 ldots bt) com ai neq bj, para todo i e j.
Calcule (alpha circ beta)(m) e (beta circ alpha)(m), prara todo 1 <= m <= n, com m neq ai e m neq bj para todo i e j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas permutações, chamadas de ciclos, que não têm elementos em comum. Temos alpha = (a1, a2, a3, ldots, as) e beta = (b1, b2, b3, ldots, bt), e queremos calcular (alpha circ beta)(m) e (beta circ alpha)(m) para qualquer número m que não está nem na alpha nem na beta. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a composição de permutações e o que significa um ciclo disjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ciclo em permutação. Um ciclo como alpha = (a1, a2, a3, ldots, as) significa que alpha envia a1 para a2, a2 para a3, e assim por diante, até as que volta para a1. Qualquer número que não está no ciclo fica fixo, ou seja, alpha(m) = m se m neq ai para todo i.

Passo 3

Como alpha e beta são ciclos disjuntos, isso quer dizer que não compartilham nenhum elemento. Ou seja, os elementos de alpha são todos diferentes dos elementos de beta. Portanto, se m não está em nenhum dos ciclos ( m neq ai e m neq bj), tanto alpha quanto beta vão deixar m inalterado. Matematicamente, isso significa:
alpha(m) = m e beta(m) = m

Passo 4

Agora, vamos calcular a composição (alpha circ beta)(m). Por definição, isso significa aplicar primeiro beta e depois alpha no resultado:
(alpha circ beta)(m) = alpha(beta(m))
Como vimos que beta(m) = m, então:
alpha(beta(m)) = alpha(m) = m

Passo 5

De maneira similar, vamos calcular (beta circ alpha)(m). Isso significa aplicar primeiro alpha e depois beta:
(beta circ alpha)(m) = beta(alpha(m))
Sabendo que alpha(m) = m, temos:
beta(alpha(m)) = beta(m) = m

Resposta

Portanto, para todo m que não está nem em alpha nem em beta, temos:
(alpha circ beta)(m) = m e (beta circ alpha)(m) = m

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