Suponha
e
ciclos disjuntos de
, digamos
e
com
, para todo
e
.
Calcule
e
, prara todo
, com
e
para todo
e
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas permutações, chamadas de ciclos, que não têm elementos em comum. Temos
e
, e queremos calcular
e
para qualquer número
que não está nem na
nem na
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a composição de permutações e o que significa um ciclo disjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ciclo em permutação. Um ciclo como
significa que
envia
para
,
para
, e assim por diante, até
que volta para
. Qualquer número que não está no ciclo fica fixo, ou seja,
se
para todo
.
Passo 3
Como
e
são ciclos disjuntos, isso quer dizer que não compartilham nenhum elemento. Ou seja, os elementos de
são todos diferentes dos elementos de
. Portanto, se
não está em nenhum dos ciclos (
e
), tanto
quanto
vão deixar
inalterado. Matematicamente, isso significa:
Passo 4
Agora, vamos calcular a composição
. Por definição, isso significa aplicar primeiro
e depois
no resultado:
Como vimos que
, então:
Passo 5
De maneira similar, vamos calcular
. Isso significa aplicar primeiro
e depois
:
Sabendo que
, temos:
Resposta
Portanto, para todo
que não está nem em
nem em
, temos:
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Quais elementos de
, o) são seus próprios inversos?
Considere o grupo
do item 7. Quais dos subconjuntos de
são subgrupos?
O subconjunto das matrizes triangulares superiores, com todos elementos diagonal diferente de
O subconjunto das matrizes triangulares superiores, com todos elementos diagonal diferente de
Mostrar que se
é ortogonal a
e
é também ortogonal a
.
Calcule
sabendo que:
e a medida do ângulo entre eles é
.